СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 76. Корень п-й степени из положительного числа а

Теорема 1. Для любого положительного числа а существует положительный корень п-й степени.

Другими словами, для любого натурального числа п и любого положительного  числа  а  уравнение

хⁿ = а

имеет  положительный   корень.

Мы не будем доказывать эту теорему, а укажем лишь, как можно находить приближенное значение положительного корня степени п из положительного числа а. Найдем, например, приближенное значение ³√2

Приближенными значениями корня с точностью до 1 будут, очевидно, 1 (с недостатком) и 2 (с избытком). Чтобы найти первый десятичный знак приближенного, значения ³√2, найдем в ряде

1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0

два таких последовательных числа, чтобы куб первого из них был меньше 2, а куб второго — больше 2. Для этого возьмем из чисел нашего ряда среднее 1,5 и возвысим его в куб. Мы найдем: 1,5³ = 3,375, что больше 2. Так как числа, стоящие справа от 1,5, при возвышении в куб дают результат еще больший, то мы можем отбросить всю правую половину ряда и дальше испытывать лишь числа:

1,1; 1,2; 1,3; 1,4.

Возвысим в куб среднее из этих чисел — 1,2. Получим 1,728, что меньше 2. Куб числа 1,1 будет еще меньше. Значит, дальнейшему испытанию подлежат только числа 1,3 и 1,4.

Возвысив в куб 1,3, получим 2,197, что больше 2. Итак, мы нашли два числа 1,2 и 1,3, таких, что куб первого из них меньше 2, а куб второго больше 2. Эти числа и будут приближенными значениями ³√2 с точностью до 0,1: 1,2 —с недостатком, а 1,3 — с избытком.

Для   нахождения   сотых   долей   нужно   испытать   следующие числа:

1,21; 1,22; 1,23; 1,24;  ...;  1,29.

Взяв в этом ряде среднее число 1,25 и возвысив его в куб, найдем 1,25³ = 1,953125, что меньше 2. Значит, теперь надо испытать только числа

1,26;  1,27;  1,28;  1,29.

Имеем: 1,26³ = 2,000376, что больше 2. Значит, приближенными значениями ³√2 с точностью до 0,01 будут: 1,25 (с недостатком) и  1,26 (с избытком).

Если указанный процесс нахождения последовательных десятичных знаков корня продолжать дальше, то мы будем получать значения ³√2  все с большей и большей точностью.

Мы показали на примере, как приближенно, но с любой степенью точности можно отыскать корень третьей степени из положительного числа 2. Таким же образом можно отыскивать приближенные значения корня любой степени из любого положительного  числа.

Отметим, что если ⁿ√a  представим в виде конечной десятичной дроби, то в принципе с помощью описанного метода значение корня можно получить абсолютно точно (а не приближенно).

Теорема 2. Всякое положительное число а имеет ровно один положительный корень степени п.

Доказательство будем вести методом от противного. Предположим, что существует несколько различных положительных корней n-й степени из положительного числа а. Пусть b и с — два таких корня. Тогда

bⁿ = сⁿ = а.                                        (1)

Так как числа b и с различные, то одно из них больше другого. Пусть, например, b > с. Тогда должно быть bⁿ > сⁿ, но это противоречит соотношению (1).  Значит,  наше предположение о существовании нескольких различных положительных корней неверно. Таким образом, существует только один положительный корень п-й степени из положительного числа а.

А существуют ли отрицательные корни п-й степени из положительного числа а? Ответ на этот вопрос дают последующие теоремы.

Теорема 3. Отрицательных корней нечетной степени из положительного числа не существует.

Другими  словами,   при  положительном а уравнение

x^2k+1 = a

не имеет отрицательных корней.

Доказательство этой теоремы очень простое, и потому мы опускаем его. Учащиеся без особого труда могут провести его самостоятельно.

Теорема 4. Существует и притом только один отрицательный корень четной степени из положительного числа. Он отличается от положительного корня из этого числа лишь знаком.

Доказательство. Пусть b есть положительный корень уравнения

х^2k = а   (а > 0).

Такой корень существует в силу теоремы 1. Но тoгда

b^2k = а  

и,  следовательно,

(— b)^2k = а  .

А это означает, что отрицательное число — b является корнем п-й степени из числа а. Тем самым доказано существование отрицательного  корня.

Предположим теперь, что отрицательных корней степени 2k из положительного числа а несколько. Пусть — b и — с — два таких   корня.   Тогда

(— b)^2k = (— c)^2k = а.

Отсюда  вытекает,  что

b^2k  = c^2k  = а.

Следовательно, существует два различных положительных корня степени 2k из положительного числа a: b и  с. Но это противоречит теореме 2. Таким образом, наше предположение о существовании двух различных отрицательных корней степени 2k из числа а неверно. Тем самым доказана единственность отрицательного  корня.

Теорема 4 доказана.

Объединяя теперь теоремы 1, 2, 3 и 4, мы приходим к следующему   выводу.

Существует ровно один корень нечетной степени из положительного числа. Этот корень положительный.

Существует ровно два корня четной степени из положительного числа. Эти корни равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Примеры:   ⁵√32 = 2;   ³√25 = 5;   ⁴√16 = ±2;   ⁴√81 = ±3.

Упражнения

543.   Найти все значения корней: а) ³√125; б) ⁴√1296.

544.   Что можно сказать о числе а, если известно, что существует два различных значения корня √a?

545.   Что можно сказать о числе а, если известно, что никакое положительное число не может быть значением ³√a?

ОТВЕТЫ

544.  a > 0;    545. a < 0