СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 77. Арифметическое значение корня

В предыдущем параграфе было показано, что любое положительное число имеет два корня четной степени: положительный и отрицательный.

Например, √9 = ±3; ⁴√16 = ± 2 и т. д.

Положительный корень четной степени из положительного числа называется его арифметическим значением или арифметическим корнем. Так, арифметическим значением√9  будет число 3, а  арифметическим значением ⁶√64 — число 2.

Всюду в дальнейшем под ^2k√a (а > 0) мы будем подразумевать арифметический корень степени 2k из числа а. Например, √16 = 4,√25 = 5 и т. д. В связи с этим полезно отметить следующую важную формулу:

Другими   словами,

√x² = | х |.

Ошибочно было бы написать √x² =  х, так как при отрицательных значениях х мы имели бы дело с отрицательным (неарифметическим)   корнем.

Примеры:

В  данном  случае знак  модуля  можно  не  писать, так  как   при любых значениях   х  х² + х + 1 > 0.

Упражнения

546. Найти арифметические значения корней:

а)  √(x—1)² ,         в) √(2x² —3х+1)² ;

б)  √(х + 2)²         г) √(—3х² + х —1)² .

547. Построить графики функций:

а) у = √(x—1)² ;         в)  у = √x⁶ ;

б)  у = √x²/_x                    г)  у = — √x⁴

548.   Вычислить сумму

√(x—1)² + √(3—x)² .

549.  Построить график функции

y = √(x—1)² + √(3—x)²

550.  Решить уравнение

√(x—3)² + √(5—x)² = 2.

551.   Решить  уравнения:

а)  √(х + 6)² = x + 6;    .   -в). √(х² +2 х —3)²  =  x² + 2х — 3;

б)  √(1—2x)⁴ = (1 — 2x)²;   г) √(8— 4х — х²)² = x² + 4x — 8.

ОТВЕТЫ

  546. а) | x — 1 |;   г) 3x² — х + 1.   548. 4 — 2х  при х <  1;   2 при 1 < x < 3;  2х — 4 при х > 3.

549. Pис. 4*.

550.  3 < x < 5.    551. а) х > — 6; б) х — любое число; в) х < —3;   х > 1.