СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 78. Корень п-й степени из отрицательного числа —а

Теорема 1. Корней четной степени из отрицательного числа не существует.

Другими  словами,   уравнение

х^2k= — а (а > 0)

не  имеет действительных   корней.

Мы предлагаем учащимся доказать эту теорему самостоятельно.

Теорема 2. Существует и притом только один корень нечетной степени из отрицательного числам Этот корень отрицателен.

Другими  словами,   уравнение

х^2k+1= — а (а > 0)

имеет единственный корень. Этот корень является отрицательным.

Доказательство. Прежде всего покажем, что корень нечетной степени 2k + 1 из отрицательного числа —а не может быть положительным. Если бы этот корень (обозначим его через b) был положительным, то в равенстве b^2k+1= — а  левая часть была бы положительной, а правая — отрицательной.

Теперь покажем, что отрицательный корень нечетной степени 2k + 1 из отрицательного числа   — а существует.

Число а положительно, и потому оно имеет положительный корень степени 2k + 1 (теорема 1, § 76). Обозначим его через b.

Тогда

b^2k+1=  а.

Отсюда  вытекает,   что

(—b)^2k+1= —b^2k+1 = — а.

Но это и означает, что отрицательное число — b является корнем степени 2k + 1 из отрицательного числа   — а.

Осталoсь лишь показать, что существует не более одного отрицательного корня нечетной степени 2k + 1  из числа   — а.

Для доказательства предположим противнoе, т. е. что существует несколько таких корней. Пусть —b и —с  — два таких корня.  Тогда

(—b)^2k+1=  — а,      (—c)^2k+1=  — а.                       (1)

Но так как число 2k + 1 нечетно, то (—b)^2k+1 = —b^2k+1;  (—c)^2k+1 = —c^2k+1. Поэтому из (1) следует, что

b^2k+1 = а,   c^2k+1 = а.

А это, в свою очередь, означает, что положительное число а имеет два различных положительных корня степени 2k + 1: b и с; но это противоречит теореме 2, § 76.

Теорема полностью доказана. Объединяя теоремы 1 и 2, мы приходим к следующему выводу.

Корней четной степени из отрицательного числа не существует.

Существует ровно один корень нечетной степени из отрицательного числа. Этот корень является отрицательным.

Примеры.

Корней ⁴√—81;     ¹⁰⁰√—25     не существует;   ⁵√— 32 = —2;   ³√—125= —5.

Упражнения

552.   (У с т н о.)  Какие из данных выражении не имеют смысла:

√—9  ; ³√—8 ;  √—0,25 ; ⁴√—81  ;  ⁷√— 2  ?

553.   Найти  области  определения  следующих функций:

а)  у = √x—1;                     г)  у = ⁸√(х + 2)(х — 7);

б)  у = ⁵√x—1                   д)  у = ⁶√х² + х + 1;

в)  у = ¹²√3х² +5х —2     е)  у = ³√3—x + ⁴√5х —5.

ОТВЕТЫ

 553. а)  х  > 1; б) множество всех действительных чисел;   в) х < — 2   и х > ¹/₃ ;

г)  х <—2 и х > 7; д) множество всех действительных чисел;   е) х > 1.