СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 79. Извлечение корней из произведения и частного

Теорема 1. Корень п-й степени из произведения положительных чисел равен произведению корней п-й степени   из   сомножителей,   то есть  при  а > 0, b > 0 и натуральном п

ⁿ√ab  = ⁿ√a  •  ⁿ√b .                                    (1)

Доказательство. Напомним, что корень п-й степени из положительного числа ab есть такое положительное число, п-я степень которого равна ab. Поэтому доказать равенство (1) — это все равно,  что доказать равенство

(ⁿ√a  •  ⁿ√b )ⁿ = ab.

По свойству степени  произведения

(ⁿ√a  •  ⁿ√b )ⁿ = (ⁿ√a  )ⁿ • ( ⁿ√b )ⁿ =.

Но по определению корня п-й степени (ⁿ√a  )ⁿ = а, ( ⁿ√b )ⁿ = b.

Поэтому (ⁿ√a  •  ⁿ√b )ⁿ = ab.  Теорема доказана.

Требование а > 0, b > 0 существенно лишь для четного п, поскольку при отрицательных а и b и четном п корни ⁿ√a   и  ⁿ√b  не определены. Если же п нечетно, то формула (1) справедлива для любых а и b (как положительных, так и отрицательных).

Примеры:  √16 • 121 = √16 • √121 = 4 • 11 = 44.

                   ³√—125 • 27 = ³√—125 • ³√27 = —5•3 = — 15

Формулу (1) полезно использовать при вычислении корней, когда подкоренное выражение представляется в виде произведения точных квадратом. Например,

√153² —72²   = √ (153+ 72) (153—72) = √225•81=  15 • 9 = 135.

Теорему 1 мы доказали для случая, когда под знаком радикала в левой  части формулы (1) стоит произведение двух положительных чисел. На самом же деле эта теорема верна для любого числа положительных сомножителей, то есть при любом натуральном  k > 2:

Следствие. Читая это тождество справа налево, мы получаем следующее правило умножения корней с одинаковыми .показателями;

Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, достаточно перемножить подкоренные выражения, оставив показатель корня прежним.

Например,    √3  • √8  • √6  = √3• 8• 6 = √144 = 12.

Теорема 2. Корень п-й степени из дроби, числитель и знаменатель которой — положительные числа, равен частному от деления корня той же степени из числителя на корень той же степени из знаменателя, то есть при а > 0 и b > 0

    (2)

Доказать равенство (2)—это значит показать, что

По правилу возведения  дроби в  степень  и  определению   корня n-й степени имеем:

Тем самым теорема доказана.

Требование а > 0 и b > 0 существенно лишь при четном п. Если же п нечетно, то формула (2) верна и для отрицательных значений  а  и   b.

Примеры:  

Следствие.   Читая тождество  справа налево, мы получаем следующее правило деления корней с одинаковыми показателями:

Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, достаточно разделить подкоренные выражения, оставив показатель корня прежним.

Например,

Упражнения

554. В каком месте доказательства теоремы 1 мы использовали то, что а и b положительны?

Почему при нечетном п формула (1) верна и для отрицательных чисел  а и b?

При каких значениях х верны данные равенства (№ 555—560):

555.  √x² — 9 = √x —3 • √х + 3.  

556.  ⁴√(x — 2) (8 — x) = ⁴√х — 2 • ⁴√8 — x

557. ³√(х + 1) (х — 5) = ³√х +1 • ³√х — 5.    

558. √х (х + 1) (х + 2) = √х  • √ (х + 1) • √ (х + 2)

559. √(х — а)³   = (√х — а )³.

560. ³√(х — 5)²  = (³√х — 5)².

561.  Вычислить:

a) √173² — 52² ;         в) √200² — 56² ;

б) √373² — 252² ;        г) √242,5² — 46,5² .

562. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 205 см, а один из катетов 84 см. Найти другой катет.

563. Во сколько раз:

ОТВЕТЫ

555. х > 3.    556. 2 < х < 8.    557. х — любое число.    558. х > 0.    559. х > а.     560. х — любое число.    563. а) В три раза.