СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 81. Вынесение множителя из-под знака корня и введение его под знак корня

Иногда подкоренное выражение разлагается на такие множители, корни из которых извлекаются довольно легко. В таких случаях выражение можно упростить посредством вынесения множителя из-под знака  корня.  Например,'

√12 = √4•3 = √4 • √3 =2√3;

  ⁴√1250  = ⁴√625•2 = ⁴√5⁴•2 = ⁴√5⁴ • ⁴√2= 5⁴√2.

Вынесение множителя за знак корня позволяет упростить и более  сложные   выражения.   Так,

√18 + √50 —√98 = √9•2 + √25•2 — √49•2= 3√2+ 5√2— 7√2 = √2;

³√81 — ³√24 + ³√375 = ³√27•3 — ³√8•3 +  ³√125•3 = 3³√3 —2³√3+ 5³√3= 6³√3:

Иногда оказывается полезным, наоборот, ввести какой-нибудь множитель под знак корня.

Пусть, например, нужно вычислить приближенное значение 7√8 с недостатком с точностью до 0,1.    Введем 7 под знак корня.    Для этого заметим, что 7 = √49 .   Поэтому      7√8 =  √49 • √8 = √49 • 8 = √392.     Извлекая корень из 392 обычным способом, получим следующее приближенное значение этого корня с недостатком с точностью до 0,1:   √392 ≈19,7. Если бы мы не ввели 7 под знак корня, а вычислили бы приближенное значение √8 с точностью до 0,1 (√8 ≈ 2,8) и полученный результат умножили на 7, то получили бы 7√8 ≈ 19,6, то есть ошиблись на 0,1. Этот пример показывает, какую пользу может оказать введение множителя под знак корня.

Кроме того, введение множителя под знак корня приводит иногда к значительному упрощению выражения.  Например,

Упражнения.

568.   Не   извлекая    корней,    определить,   какое из   данных чисел больше:

а)  2√3   или 3√2         в) 5√7   или 8√3;

б)  2³√3   или 3³√2;       г) 3³√4   или 3³√2.

569.  Вычислить:

а)  2 √3  — √27 + 3√12 — 2√243

б)  √50 — 5√8 + √2 + √128;

в)  ³√2 + ³√250 — ³√686 — ³√16.

570.   Упростить:

571.   Вычислить с точностью до 0,01:

a)  2√7         в) ¹/₂√6

б) 5√3;          г) 2√7 + 5√3 + ¹/₂√6

572.   Вычислить:

а)  (2√3 — 3√2 + √6) • (√6 —√2—2√3);

б)  (√8 — 3√2 + √10) • (√2 + √1,6+ 3√0,4);

в) (³√9 + ³√6 + ³√4) • (³√3 — ³√2);

г) (³√а²   + ³√аb + ³√b²  ) • (³√а — ³√b).

573.   Что  больше:

a) √2 или ³√3         в) √8 или ³√19;

б) ³√12 или √5;        г) ¹²√2 или ¹⁵√3?

ОТВЕТЫ