СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 83  Освобождение от радикалов в знаменателе дроби

Некоторые дроби, содержащие в знаменателях радикалы, с помощью преобразований могут быть сведены к дробям, которые уже не содержат радикалов в знаменателях. Поясним это на ряде частных  примеров.

Пример    1.   Освободиться от  радикала  в знаменателе дроби ²/_√3

Умножив числитель и знаменатель данной дроби на √3, получим:

Пример   2.   Освободиться от радикала в знаменателе дроби

Число 12, стоящее под знаком радикала, разложим на множители: 12 = 2² • 3. До полного куба не хватает, очевидно, множителя 2 • 3² = 18. Умножив числитель и знаменатель данной дроби  на ³√18,   получим:

Пример  3. Освободиться от радикалов в знаменателе дроби

Умножив числитель и знаменатель данной дроби на √3  + √2  (это выражение является сопряженным к выражению √3  — √2 ), получим:

Пример   4. Вычислить

с точностью до   0,1.

В  примере 3  мы  получили:

Но 2 √6 = √4 • 6 =√24 ≈ 4,8 (с точностью до 0,1). Поэтому 5 + 2 √6 ≈ 9,8 (с точностью до 0,1).

Если бы мы вместо этого в исходную дробь подставили приближенные значения √3  и √2  с точностью до 0,1:

√3≈1,7;   √2≈1,4,

то получили бы

что дает значительную ошибку.

Пример 5. Освободиться от радикалов в знаменателе дроби

Освободиться от радикалов в знаменателе данной дроби можно в два приема. Сначала умножим числитель и знаменатель данной дроби на 1 + √3  + √2 .   В результате мы освободимся от радикала  √2:

Затем числитель и  знаменатель  полученной дроби   умножим на 1— √3 .   В  результате  получим:

Пример    6.   Освободиться   от   радикалов   в   знаменателе дроби

Умножим числитель и знаменатель данной дроби на неполный  квадрат суммы чисел ³√5 и ³√3, то есть на (³√5)² + ³√5 • ³√3 + (³√3)². Тогда в знаменателе получится разность кубов чисел ³√5 и ³√3 :   (³√5)³ — (³√3)³  = 5 — 3 = 2, а в числителе   

 (³√5 + ³√3) (³√5² + ³√5 • ³√3 + ³√3²) =

= ³√5³  + ³√5² • 3 +  ³√3² • 5  + ³√5² • 3 +  ³√3² • 5  + ³√3³  =

= 5 + ³√75 + ³√45 + ³√75 + ³√45 + 3 = 8 + 2³√75 + 2³√45.

Поэтому

Упражнения

576. Освободиться от радикалов в знаменателях дробей!

577.   Найти  приближенные   значения   данных   выражений с точностью до 0,01:

578.  Освободиться от радикалов в знаменателях дробей:

ОТВЕТЫ