СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 84  Степень положительною числа с положительным дробным показателем

В § 80 мы доказали следующее утверждение: если а — произвольное положительное число, а т и п — натуральные числа (п > 2), причем т делится без остатка на п, то

Вполне естественно желание обобщить эту формулу на случай произвольных натуральных чисел. Но деление в области натуральных чисел, вообще говоря, невыполнимо. Поэтому частное — может оказаться дробным числом.   Таким   образом,  мы сталкиваемся с необходимостью ввести в рассмотрение степени с дробными показателями.

Определение. Пусть а — произвольное положительное число, a m и п — произвольные натуральные числа. Тогда

            (1)

Например,

Степень положительного числа с положительным дробным показателем есть корень, показатель которого равен знаменателю данного дробного показателя, а подкоренное выражение — степень исходного положительного числа с показателем, равным числителю данного дробного показателя.

Как мы знаем, величина дроби ^m/_n   не изменится,   если   числитель и знаменатель этой дроби умножить на какое-нибудь натуральное  число  k или   разделить   на   какой-нибудь   их общий делитель р*:

* Поскольку р есть общий делитель чисел т и п,  числа  ^m/_p   и  ⁿ/_p являются  целыми.

Вполне  понятно,   что   введенное   нами   определение   степени будет корректным лишь в том случае, если

                  (2)

                           (3)

И  эти   соотношения  действительно  выполняются.   Докажем, например, формулу  (2).  Имеем:

Отсюда и получается соотношение (2).

Формула (3), если ее читать справа налево,

выражает по существу то же самое, что и формула (2).   Только роль т здесь играет целое   число ^m/_p, роль п — целое число ⁿ/_p, а роль k — число р.  Поэтому в специальном  доказательстве формула   (3)  не  нуждается.

Формулы (2) и (3) выражают следующий фaкт: величина степени положительного числа c положительным дробным показателем не изменится, если числитель и знаменатель показателя умножить на какое-нибудь натуральное число или разделить на их общий множитель.

Например,

Замечание. Введенное определение степени с дробным показателем не распространяется на степени с отрицательными   основаниями.   Для отрицательных а формула (1) может вообще потерять смысл. Например, писать    нельзя, поскольку выражение ⁴√—2 не определено.

Упражнение

579. Вычислить:

ОТВЕТЫ