СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 88. Общие свойства степенных функций
Степенными функциями называются функции вида у = ахr, где а и r — заданные действительные числа. Согласно этому определению показатель степени r может быть как рациональным, так и иррациональным. Но поскольку мы еще не знаем, что такое степень с иррациональным показателем, то пока ограничимся лишь случаем, когда число r рационально. Кроме того, мы будем считать, что а = 1. После того как функция у = хr будет изучена, исследование функции у = ахr не представит особых затруднений.
Некоторые частные примеры степенных функций у = хr (при r = 1, 2, 3, —1, —2, 1/2, 1/3) уже рассматривались нами в § 73,74, 87. Сейчас мы рассмотрим свойства функции при любом рациональном r.
Поскольку степень хr с рациональным показателем r определена, вообще говоря, лишь для положительных значений х, то и функцию у = хr мы будем рассматривать только для положительных значений аргумента х.
Степенные функции обладают следующими основными свойствами.
Свойство 1. При положительных значениях аргумента х степенная функция у = хr принимает только положительные значения.
Действительно, если r = 0, то хr = 1 > 0.
Если r = m/n, где m и п —натуральные числа, то . Но х > 0; значит, хm также больше нуля, потому и n√xm > 0.
Если r = — m/n, где m и п — натуральные числа, то . Но ; следовательно, и .
На рисунках 102—104 вы видите, графики степенных функций у = хr при различных значениях r.
Каждая из приведённых кривых расположена выше оси х. Это и служит графическим подтверждением 1-го свойства степенной функции.
Свойство 2. Если число r положительно, то при положительных значениях аргумента х степенная функция у = хr является монотонно возрастающей.
Доказательство. Пусть r = m/n > 0, х2 > х1 > 0. Докажем, что х'2 > х'1 Это и будет означать, что при положительных значениях аргумента х функция у = хr монотонно возрастает. Имеем:
Так как х2 > х1 > 0, то х2m > х1m, причем оба эти числа положительны. Поэтому и
то есть , или х'2 > х'1
Как видно из рисунка 103, кривые у = хr с ростом х поднимаются все выше и выше. Это является графическим подтверждением 2-го свойства степенной функции.
Свойство 3. Если число r отрицательно, то при положительных значениях аргумента х функция у = хr является монотонно убывающей.
Доказательство. Пусть х2 > х1 > 0 и r = — m/n, где т и п — натуральные числа. Покажем, что х'2 < х'1 . Это и будем означать, что при положительных значениях аргумента х функция у = хr . монотонно убывает. Имеем:
Так как х2 > х1 > 0, то по 2-му свойству степенной функции
или х'2 < х'1 , что и требовалось доказать.
В заключение отметим еще одно свойство степенных функций.
Свойство 4. Если число r положительно, то при неограниченном приближении х к 0 соответствующие значения функции у = хr неограниченно приближаются к 0; при неограниченном возрастании х соответствующие значения функции у = хr неограниченно возрастают.
Если число r отрицательно, то при неограниченном приближении х к нулю соответствующие значения функции у = хr неограниченно возрастают; при неограниченном росте х соответствующие значения функции у = хr неограниченно приближаются к нулю.
Это свойство степенных функций легко понять, рассматривая графики, представленные на рисунках 103 и 104. Строгого доказательства этого свойства мы не приводим.
Упражнения
ОТВЕТЫ
|