СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 88. Общие свойства степенных функций

Степенными функциями  называются функции вида у = ахr, где а и r — заданные действительные числа. Согласно этому определению показатель степени r может быть как рациональным, так и иррациональным. Но поскольку мы еще не знаем, что такое степень с иррациональным показателем, то пока ограничимся лишь случаем, когда число r  рационально. Кроме того, мы будем считать, что а = 1. После того как функция  у = хr будет изучена, исследование функции у = ахr не представит особых  затруднений.

Некоторые частные примеры степенных функций у = хr (при r = 1, 2, 3, —1, —2, 1/2,   1/3) уже рассматривались  нами в § 73,74, 87. Сейчас мы рассмотрим свойства функции при любом рациональном r.

Поскольку степень хr с рациональным показателем r определена, вообще говоря, лишь для положительных значений х, то и функцию у = хr мы будем рассматривать только для положительных   значений   аргумента   х.

Степенные функции обладают следующими основными свойствами.

Свойство 1. При положительных значениях аргумента х степенная функция у = хr принимает только положительные значения.

Действительно, если  r = 0, то хr = 1 > 0.

Если  r = m/n, где m и п —натуральные числа, то . Но  х > 0;   значит, хm  также больше нуля, потому и nxm > 0.

Если   r = — m/n,   где m и п — натуральные числа, то .   Но ;   следовательно,   и .

На рисунках 102—104 вы видите, графики степенных функций у = хr при различных значениях r.

Каждая из приведённых кривых расположена выше оси х. Это и служит графическим подтверждением 1-го свойства степенной функции.

Свойство 2. Если число r положительно, то при положительных значениях аргумента х степенная функция у = хr  является монотонно возрастающей.

Доказательство. Пусть r = m/n > 0, х2 > х1 > 0. Докажем, что х'2 > х'1 Это и   будет  означать, что при положительных значениях аргумента х функция   у = хr  монотонно возрастает. Имеем:

Так как х2 > х1 > 0, то х2m > х1m, причем оба эти числа положительны. Поэтому и

  то  есть  , или  х'2 > х'1

Как видно из рисунка 103, кривые у = хr с ростом х поднимаются все выше и выше. Это является графическим подтверждением 2-го свойства   степенной  функции.

Свойство 3. Если число r отрицательно, то при положительных значениях аргумента х функция у = хr является монотонно убывающей.

 Доказательство.     Пусть х2 > х1 > 0   и  r = — m/n,   где   т и  п — натуральные числа. Покажем, что х'2 < х'1 . Это и будем означать, что при положительных значениях аргумента х функция у = хr . монотонно убывает. Имеем:

Так как х2 > х1 > 0,   то по 2-му   свойству   степенной функции

или х'2 < х'1 , что и требовалось доказать.

В заключение отметим еще одно свойство степенных функций.

Свойство 4. Если число r положительно, то при неограниченном приближении х к 0 соответствующие значения функции у = хr неограниченно приближаются к 0; при неограниченном возрастании х соответствующие значения функции  у = хr  неограниченно возрастают.

Если число r отрицательно, то при неограниченном приближении х к нулю соответствующие значения функции у = хr неограниченно возрастают; при неограниченном росте х соответствующие значения функции у = хr неограниченно приближаются к нулю.

Это свойство степенных функций легко понять, рассматривая графики, представленные на рисунках 103 и 104. Строгого доказательства этого свойства мы не приводим.

Упражнения

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz