|
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 175 Степень положительного числа
с положительным иррациональным показателем.
В предыдущем параграфе мы напомнили, как определяется степень аr любого положительного числа а с любым рациональным показателем r. Теперь нам предстоит определить степень аx положительного числа а с положительным иррациональным показателем х. Мы начнем с рассмотрения следующего частного примера: как следует понимать выражение 3√2?
Выпишем десятичные приближения числа √2 с недостатком:
1; 1,4; 1,41; 1,414; ... (1)
и с избытком:
2; 1,5; 1,42; 1,415; ... (2)
Все члены этих последовательностей представляют собой рациональные числа. А степень положительного числа с рациональным показателем нами уже определена. Поэтому мы вправе рассмотреть последовательности:
31; 31,4; 31,41; 31,414; ... (3)
32; 31,5; 31,42 ; 31,415; .... (4)
Как известно,
1< √2 < 2
1,4< √2 <1,5
1,41< √2 <1,42
1,414 < √2 < 1,415
Поэтому, принимая во внимание теорему 1 из предыдущего параграфа, естественно считать, что интересующее нас число у = 3√2 удовлетворяет неравенствам:
31 < у < 32
31,4 < у < 31,5
31,41 < у < 31,42
31,414 < у < 31,415
Можно доказать, что существует и притом только одно число α, удовлетворяющее каждому из этих неравенств*.
* Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы и потому здесь, не приводится.
По определению это число α и принимается за 3√2
Рассмотрим еще один пример: как следует понимать выражение (1/3)√2 ?
По аналогии с первым примером рассмотрим последовательности:
(1/3 )1 ; (1/3 )1,4 ; (1/3 )1,41 ; (1/3 )1,414 ; ... (5)
и
(1/3 )2 ; (1/3 )1,5 ; (1/3 )1,42 ; (1/3 )1,415 ; ... (6)
Естественно считать, что интересующее нас число y = (1/3)√2 удовлетворяет неравенствам (см. теорему 2 из предыдущего параграфа):
(1/3 )2 < y < (1/3 )1
(1/3 )1,5 < y < (1/3 )1,4
(1/3 )1,42 < y < (1/3 )1,41
(1/3 )1,415 < y < (1/3 )1,414
Можно доказать, что существует и притом только одно число β удовлетворяющее каждому из этих неравенств. По определению это число β и принимается за (1/3)√2.
Рассмотрение представленных двух примеров приводит нас к следующему определению.
Определение. Если а > 1, то степенью этого числа с положительным иррациональным показателем х называется число, которое больше всех степеней числа а с показателями, равными десятичным приближениям числа х с недостатком, но меньше всех степеней числа а, с показателями, равными десятичным приближениям числа х с избытком.
Если 0 < а < 1, то степенью этого числа с положительным иррациональным показателем х называется число, которое больше всех степеней числа а с показателями, равными десятичным приближениям числа х с избытком, но меньше всех степеней числа а с показателями, равными десятичным приближениям числа х с недостатком.
К этому остается добавить, что для любого иррационального числа х
1x = 1.
|