ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 176 Степень положительного числа с отрицательным иррациональным показателем.
Если а > 0 и х — положительное иррациональное число, то по определению
Чтобы введенное определение было корректным, необходимо показать, что дробь в правой части равенства (1) имеет смысл при любых положительных а и х. Для этого нужно доказать, что
аx =/= 0.
Действительно, по определению степени с положительным иррациональным показателем
аx' < аx < аx'',
где одно из чисел х' и х" есть десятичное приближение числа х с недостатком, а другое — соответствующее десятичное приближение этого числа с избытком. Числа х' и х" рациональные и положительные. Поэтому аx' > 0 и аx'' > 0. Но число, заключенное между двумя положительными числами, само должно быть положительным. Поэтому аx > 0.
Итак, мы определили степень положительного числа с любым действительным показателем. Степень отрицательного числа с действительным показателем, вообще говоря, не определена.
|