ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 176 Степень положительного числа
с отрицательным иррациональным показателем.

Если а > 0 и х — положительное иррациональное число, то по  определению

Чтобы введенное определение было корректным,   необходимо показать, что дробь  в    правой    части    равенства    (1)   имеет смысл при любых положительных а и х. Для этого нужно доказать, что

   а^x =/= 0.

Действительно, по определению степени с положительным иррациональным показателем

а^x' < а^x < а^x'',

где одно из чисел х' и х" есть десятичное приближение числа х с недостатком, а другое — соответствующее десятичное приближение этого числа с избытком. Числа х' и х" рациональные и положительные. Поэтому а^x' > 0 и а^x'' > 0. Но число, заключенное между двумя положительными числами, само должно быть   положительным.   Поэтому  а^x > 0.

Итак, мы определили степень положительного числа с любым действительным показателем. Степень отрицательного числа с  действительным  показателем,   вообще  говоря,   не  определена.