ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 178 Показательная функция  и  ее  график

Показательной функцией называется функция вида

у = аx,

где а — некоторое фиксированное положительное число

Примером  показательных  функций   могут служить  функции:

у = 2x;   у = (1/3)x;   у = (0,1)x.

В природе наблюдается целый ряд явлений, которые математически можно описать с помощью показательных функций. Например, распад радия приближенно можно описать соотношением

т (t)= т(0) • (0,9996) t,

где т(0) — первоначальное количество радия в граммах, a  т (t) — то количество радия, которое останется через t лет после начала распада. По показательному закону изменяется также атмосферное давление с изменением высоты.

В определении показательной функции у = аx указывается, что число а положительное. Объясняется это тем, что степень отрицательного числа с произвольным показателем, вообще говоря, не  определена.

Среди всех положительных значений а следует особо выделить а = 1. При таком а функция у = аx имеет вид у = 1 (рис. 245).

Такая функция не представляет особого интереса. Поэтому в дальнейшем, говоря о показательной функции у = аx, мы всегда будем предполагать, что а > 0 и а =/= 1.

Перейдем   к   построению   графика   показательной   функции. В качестве примера на одном чертеже построим графики   функций у = 2x и у = 10x, а на другом — графики функций у = ( 1/2)x   и  у = ( 1/10)x   Для этого предварительно составим таблицы значений этих функций.

Для функций у = 2x и у = ( 1/2)x в качестве значений х выберем

— 3, —8, — 1,  0, 1, 2 и 3.

Дли функций  у = 10x и у = ( 1/10)x    целесообразно   выбрать другие значения х, поскольку при х = ± 2, ± 3 указанные функции    принимают    либо    слишком    большие,    либо слишком малые значения.

Например, 103 = 1000, ( 1/10)3 = 1/1000.    Такие   значения у трудно зафиксировать на графике. Поэтому в данном случае в качестве значений   х  удобнее   выбрать,   например,   такие , числа: —1,— 3/4, — 2/4, — 1/4,  0,   1/4 , 2/4, 3/4   и   1.

Соответственные значения у можно вычислить последовательно:

и т. д.

В  итоге получается следующая  таблица приближенных значений функций у = 10x и у = ( 1/10)x   

Используя составленные таблицы, можно в общих чертах представить себе поведение рассматриваемых функций. Точные графики функций у = 2x   и  у = 10x  приведены  на  рисунке 246, а функций у = ( 1/2)x и у = ( 1/10)x на рисунке 247.

Упражнения

1363.  Используя график функции у = 2x, найти

При каких значениях аргумента эта функция принимает значения, равные 0,5; 0,9; 1,0; 1,8; 2,7?

1364.  Используя график функции   у = ( 1/10)x , найти

При каких значениях х эта функция принимает значения, равные 0,5;  0,9;   1,0; 3,0;  5,0?

1365.  Построить   графики  функций:

а)  у = 2х— 1;                 в)  у = 2|х|;                     д) у = 2х+ 1 ;

б)  у = 2х+1;                   г) у = 2х— 1;                 е) у = 2 |х|.

1366.  Построить   графики   функций:

а)  у = (1/2)х— 2;                 в)  у = (1/2)|х|;                     д) у = (1/2)х+ 2 ;

б)  у = (1/2)х+2;                   г) у = (1/2)х— 2;                 е) у = (1/2|х|.

1367., На одном и том же рисунке построить графики функций

у = 3х   и   у =  3 х

 

 

Используются технологии uCoz