ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 178 Показательная функция и ее график
Показательной функцией называется функция вида
у = аx,
где а — некоторое фиксированное положительное число
Примером показательных функций могут служить функции:
у = 2x; у = (1/3)x; у = (0,1)x.
В природе наблюдается целый ряд явлений, которые математически можно описать с помощью показательных функций. Например, распад радия приближенно можно описать соотношением
т (t)= т(0) • (0,9996) t,
где т(0) — первоначальное количество радия в граммах, a т (t) — то количество радия, которое останется через t лет после начала распада. По показательному закону изменяется также атмосферное давление с изменением высоты.
В определении показательной функции у = аx указывается, что число а положительное. Объясняется это тем, что степень отрицательного числа с произвольным показателем, вообще говоря, не определена.
Среди всех положительных значений а следует особо выделить а = 1. При таком а функция у = аx имеет вид у = 1 (рис. 245).
Такая функция не представляет особого интереса. Поэтому в дальнейшем, говоря о показательной функции у = аx, мы всегда будем предполагать, что а > 0 и а =/= 1.
Перейдем к построению графика показательной функции. В качестве примера на одном чертеже построим графики функций у = 2x и у = 10x, а на другом — графики функций у = ( 1/2)x и у = ( 1/10)x Для этого предварительно составим таблицы значений этих функций.
Для функций у = 2x и у = ( 1/2)x в качестве значений х выберем
— 3, —8, — 1, 0, 1, 2 и 3.
Дли функций у = 10x и у = ( 1/10)x целесообразно выбрать другие значения х, поскольку при х = ± 2, ± 3 указанные функции принимают либо слишком большие, либо слишком малые значения.
Например, 103 = 1000, ( 1/10)3 = 1/1000. Такие значения у трудно зафиксировать на графике. Поэтому в данном случае в качестве значений х удобнее выбрать, например, такие , числа: —1,— 3/4, — 2/4, — 1/4, 0, 1/4 , 2/4, 3/4 и 1.
Соответственные значения у можно вычислить последовательно:
и т. д.
В итоге получается следующая таблица приближенных значений функций у = 10x и у = ( 1/10)x
Используя составленные таблицы, можно в общих чертах представить себе поведение рассматриваемых функций. Точные графики функций у = 2x и у = 10x приведены на рисунке 246, а функций у = ( 1/2)x и у = ( 1/10)x на рисунке 247.
Упражнения
1363. Используя график функции у = 2x, найти
При каких значениях аргумента эта функция принимает значения, равные 0,5; 0,9; 1,0; 1,8; 2,7?
1364. Используя график функции у = ( 1/10)x , найти
При каких значениях х эта функция принимает значения, равные 0,5; 0,9; 1,0; 3,0; 5,0?
1365. Построить графики функций:
а) у = 2х— 1; в) у = 2|х|; д) у = 2х+ 1 ;
б) у = 2х+1; г) у = 2х— 1; е) у = 2 — |х|.
1366. Построить графики функций:
а) у = (1/2)х— 2; в) у = (1/2)|х|; д) у = (1/2)х+ 2 ;
б) у = (1/2)х+2; г) у = (1/2)х— 2; е) у = (1/2) — |х|.
1367., На одном и том же рисунке построить графики функций
у = 3х и у = 3 —х
|