ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 181 Логарифмическая функция и ее грaфик

Логарифмической функцией  называется функция вида

y =  log_ax,

где а — некоторое фиксированное положительное число, отличное от  1.

Формула y =  log_ax выражает то  же самое,   что  и  формула

а^y= х.                  (1)

Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной   функцией

у = а^x                   (2)

Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение показателя степени в зависимости от изменения степени. Поэтому логарифмическая функция y =  log_ax называется обратной к показательной  функции  у = а^x.

Формула (1) получается из формулы (2), если в последней переменные величины х и у поменять местами. Отсюда следует, что значения логарифмической функции y =  log_ax легко получить из соответствующих значений показательной функции у = а^x, если то, что для показательной функции было у-ом, для логарифмической функции рассматривать как х, а то, «то для показательной функции было х-ом, для логарифмической функции рассматривать   как  у.

Таблицы значений  показательных функций у = 2^x,   у = 10^x, у = (¹/₂) ^x   и  у = (¹/₁₀ )^x   были   составлены   нами в § 178.   Используя их, мы получаем таблицы приближенных значений функций:

у = log₂x,      у = log₁₀x,    у = log_1/2  x  и     у = log_1/10  x

Эти таблицы дают некоторое (хотя и весьма ограниченное) представление о поведении рассматриваемых функций. В частности, они могут быть использованы при построении графиков этих   функций.

На рисунке 250 вы видите графики функций у = log₂x   и      у = log₁₀x, а на рисунке 251 — графики функций  у = log_1/2  x  и   у = log_1/10  x  .

Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Когда х — > 0, то логарифмическая кривая y =  log_ax неограниченно приближается к оси ординат. Но оси этой она никогда не достигает (см. рис. 250 и 251). Об этом не следует забывать при построении логарифмических кривых.

Для сравнения графика логарифмической функции y =  log_ax с графиком соответствующей ей показательной функции  у = а^x обратимся к рисункам 252 (а = 2) и 253 (а = ¹/₂).

Как видно из этих рисунков, графики логарифмической функции и соответствующей ей показательной функции симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Если, например, рисунок 252 перегнуть по этой биссектрисе, то графики функций у = 2^x и у = log₂ x  наложатся друг на друга.

Упражнения

1385. Пересекается   ли   логарифмическая   кривая y =  log_ax;:

а) с осью х; б)    с осью у?

1380. Используя график функции у = log₂x, найти логарифмы по основанию 2 чисел 0,5;   0,6;   0,7;   1,5;   2,3;   3,0.

Логарифмы каких чисел по основанию 2 равны 0,7;  0,8;  0,9;  1,0;   1,5?

1387.  Исходя из графика функции у = log₂ x , построить графики функций:

а) у = log₂(x — 1);          в) у = log₂ x;           д) у = | log₂ x |;

б)  у = log₂(x + 2);           г) у = log₂ | x |;       е) у = log₂(—x).

1388.  Построить   графики  функций:

а)  у = log_1/3 x ;                 в) у = log_1/3 (x + 2);       д) у = log_1/3 | x |;

б)  у = log_1/3 (x — 1);       г) у = | log_1/3 x | ;             е) у = log_1/3 (—x).

1389.  На одном и том же рисунке построить графики функций

у = log₃ x   и   у = log_1/3 x.