ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 183 Логарифм произведения   и  частного

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; точнее, если числа а, x и у положительны и а =/= 1, то

 loga (xy) =  logax +  logay .                          (1)

Для доказательства этого тождества достаточно убедиться в   том,   что

а loga(xy) = а loga x+ loga y                      (2)

(Если степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и показатели этих степеней.) Справедливость формулы (2) установить очень просто, если воспользоваться определением логарифма.   Имеем :

а loga(xy) = xy

а loga x+ loga y  = а loga x •  а loga y  = x • y

Отсюда вытекает формула (2), а стало быть, и формула (1). Примеры.

1)  log3 15 = log3 (3 • 5) = log3 3 + log3 5 = 1 + log35.

2)  log10 2 +  log10  5 = log10 (2 • 5) =  log10 l0 = 1.

Если числа x и у отрицательны, то формула (1) теряет смысл. Например,   нельзя   писать

 log2 [(—8) • (—4)] =  log2(—8) +  log2(—4),

поскольку выражения  log2(—8) и  log2 (—4) вообще не определены (логарифмическая функция у =  log2 х определена лишь для положительных значений аргумента х).

Теорема 1 справедлива не только для двух, но и для произвольного числа сомножителей, то есть для любого натурального k и любых положительных чисел x1 , x2,  . . . , xn

 loga ( x1x2x3  ...  xk) =  loga x1 +  loga x2+  loga x3+ ...  loga xk.

Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Другими словами, если числа а, х и у положительны и а =/= 1,  то

 loga (x/y) =  loga x —  loga y                       (3)

Доказательство. Формула (3), очевидно, равносильна следующей формуле:

 loga x/y +  loga y =  loga x ,                          (4)

которая получается из (3), если выражение logay  перенести из правой части в левую. Поэтому для доказательства формулы (3) достаточно установить формулу (4). А эта формула легко выводится из формулы (1):

 loga x/y +  loga y =  loga (x/y  • у) = loga x .

Примеры.

1)  log3 25/16 =  log3 25 — log3 16.

2) log21000 — log2125 = log2 1000/125 = log2 8 = 3.

Следствие  из  теоремы  2.   Поскольку loga 1 = 0, то

loga 1/b = loga 1 — loga b = — loga b.

Таким  образом,

loga 1/b = — loga b.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком.

Примеры.

log3 9= — log3  1/9;          log5 1/125 = — log5125

и  т.   д.

Упражнения

1400.   Вычислить:

1)   log6 2 +  log6 3;                   6)  log124 +  log12 36;

2)   log2 3 + log2 4/3;                  7) log5 100 — log5 4;

3)  log3 7 — log3 7/27;                  8) log6 4 +  log6 9;

4)  log10 40 +  log10 25;            9)   log6 1/18 +  log6 1/12;

5)  log10 0,18 —  log10 180;         10) log0,1 50 — log0,1 0,5.

1401.  Зная, что log10 2 ≈ 0,3010,   log103 ≈  0,4771, log10 5 ≈  0,6990, найти логарифмы следующих чисел по основанию 10:

6;   15;  5/6; 20;  1/30.

1402.   Найти log10 2 и log10 5, если известно,   что произведение этих логарифмов приближенно равно 0,2104.

1403.   Найти  log2(tg φ) и  log2 (ctg φ), если известно, что

 log2 (sin φ) ≈ — 0,1919;  log2 (cos φ) ≈ — 0,1157.

1404.  При каких значениях х выполняется равенство

 log3 [(x + 1) (x — 1) ] =  log3 (x + 1) +  log3 (x — 1)?

1405.  При каких значениях х выполняется равенство

1406.   На   сколько   log2 100a  больше   log2 a/100  ?

1407.   Как нужно изменить число, чтобы его логарифм изменил знак на противоположный?

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz