ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 183 Логарифм произведения и частного
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; точнее, если числа а, x и у положительны и а =/= 1, то
loga (xy) = logax + logay . (1)
Для доказательства этого тождества достаточно убедиться в том, что
а loga(xy) = а loga x+ loga y (2)
(Если степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и показатели этих степеней.) Справедливость формулы (2) установить очень просто, если воспользоваться определением логарифма. Имеем :
а loga(xy) = xy
а loga x+ loga y = а loga x • а loga y = x • y
Отсюда вытекает формула (2), а стало быть, и формула (1). Примеры.
1) log3 15 = log3 (3 • 5) = log3 3 + log3 5 = 1 + log35.
2) log10 2 + log10 5 = log10 (2 • 5) = log10 l0 = 1.
Если числа x и у отрицательны, то формула (1) теряет смысл. Например, нельзя писать
log2 [(—8) • (—4)] = log2(—8) + log2(—4),
поскольку выражения log2(—8) и log2 (—4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2 х определена лишь для положительных значений аргумента х).
Теорема 1 справедлива не только для двух, но и для произвольного числа сомножителей, то есть для любого натурального k и любых положительных чисел x1 , x2, . . . , xn
loga ( x1• x2•x3 ... xk) = loga x1 + loga x2+ loga x3+ ... loga xk.
Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
Другими словами, если числа а, х и у положительны и а =/= 1, то
loga (x/y) = loga x — loga y (3)
Доказательство. Формула (3), очевидно, равносильна следующей формуле:
loga x/y + loga y = loga x , (4)
которая получается из (3), если выражение logay перенести из правой части в левую. Поэтому для доказательства формулы (3) достаточно установить формулу (4). А эта формула легко выводится из формулы (1):
loga x/y + loga y = loga (x/y • у) = loga x .
Примеры.
1) log3 25/16 = log3 25 — log3 16.
2) log21000 — log2125 = log2 1000/125 = log2 8 = 3.
Следствие из теоремы 2. Поскольку loga 1 = 0, то
loga 1/b = loga 1 — loga b = — loga b.
Таким образом,
loga 1/b = — loga b.
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком.
Примеры.
log3 9= — log3 1/9; log5 1/125 = — log5125
и т. д.
Упражнения
1400. Вычислить:
1) log6 2 + log6 3; 6) log124 + log12 36;
2) log2 3 + log2 4/3; 7) log5 100 — log5 4;
3) log3 7 — log3 7/27; 8) log6 4 + log6 9;
4) log10 40 + log10 25; 9) log6 1/18 + log6 1/12;
5) log10 0,18 — log10 180; 10) log0,1 50 — log0,1 0,5.
1401. Зная, что log10 2 ≈ 0,3010, log103 ≈ 0,4771, log10 5 ≈ 0,6990, найти логарифмы следующих чисел по основанию 10:
6; 15; 5/6; 20; 1/30.
1402. Найти log10 2 и log10 5, если известно, что произведение этих логарифмов приближенно равно 0,2104.
1403. Найти log2(tg φ) и log2 (ctg φ), если известно, что
log2 (sin φ) ≈ — 0,1919; log2 (cos φ) ≈ — 0,1157.
1404. При каких значениях х выполняется равенство
log3 [(x + 1) (x — 1) ] = log3 (x + 1) + log3 (x — 1)?
1405. При каких значениях х выполняется равенство
1406. На сколько log2 100a больше log2 a/100 ?
1407. Как нужно изменить число, чтобы его логарифм изменил знак на противоположный?
ОТВЕТЫ
|