ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 184. Логарифм степени и корня

Теорема 1. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.

Другими словами, если а и х положительны и а =/= 1, то для любого  действительного  числа  k

log_ax^k = k log_a x .                                (1)

Для доказательства этой формулы достаточно показать,   что

= a ^{k loga x}.                                    (2)

Имеем:

= x^k

a ^{k loga x} = (a ^{loga x}) ^k = x^k.

Отсюда вытекает  справедливость  формулы   (2),   а  стало  быть, и  (1).

Заметим, что если число k является натуральным (k = п), то формула (1) является частным случаем формулы

 log_a ( x₁• x₂•x₃  ...  x_n) =  log_a x₁ +  log_a x₂+  log_a x₃+ ...  log_a x_n.

доказанной еще в предыдущем параграфе. Действительно,  полагая  в этой формуле

x₁= x₂ = ...  = x_n = x,

получаем:

log_axⁿ = n log_a x.

Примеры.

1) log₃ 25 = log₃ 5² = 2 log₃ 5;

2) log₃ 2^√3 = √3  log₃ 2.

При отрицательных значениях х формула (1) теряет смысл. Например,   нельзя   писать    log₂  (—4)² = 2 log₂ (— 4),   поскольку выражение log₂ (—4) не определено. Заметим, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, имеет смысл:

log₂ (—4)² = log₂16 = 4.

Вообще, если число х отрицательно, то выражение log_a x^2k = 2k log_a x   определено, поскольку x^2k > 0. Выражение же  2k log_a x   в этом случае не  имеет  смысла.   Поэтому   писать

.    log_a x^2k = 2k log_a x 

нельзя. Однако можно писать

log_a x^2k = 2k log_a | x |                  (3)

Эта формула легко получается из (1), если учесть, что

x^2k =  | x |^2k

Например,

log₃ (—3)⁴ = 4 log₃ | —3 | = 4 log₃ 3 = 4.

Теорема 2. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня.

Другими словами, если числа а и х положительны, а =/= 1 и п — натуральное число,  то

log_a ⁿ√x  =  ¹/_n log_a x

Действительно, ⁿ√x  =  . Поэтому по теореме 1

log_a ⁿ√x  = log_a  = ¹/_n log_a x.

Примеры.

1) log₃ √8 = ¹/₂ log₃ 8;         2) log₂ ⁵√27 = ¹/₅ log₂27.

Упражнения

1408.   Как изменится логарифм числа, если,  не изменяя основания:

а)  возвести число в квадрат;

б)  извлечь из числа  квадратный  корень?

1409.   Как изменится разность log₂ a — log₂ b,  если числа а и b заменить  соответственно  на:

а) а³  и  b³;        б) 3а и 3b?

1410.  Зная, что   log₁₀ 2 ≈ 0,3010,   log₁₀3 ≈  0,4771, найти логарифмы по основанию 10 чисел:

8; 9; ³√2;  ³√6; 0,5; ¹/₉

1411.  Доказать,   что    логарифмы    последовательных   членов геометрической    прогрессии образуют   арифметическую   прогрессию.

1412.  Отличаются ли друг от друга функции

у = log₃ х²  и  у = 2 log₃ х

Построить  графики  этих функций.

1413.  Найти ошибку    в следующих преобразованиях:

log₂  ¹/₃ = log₂  ¹/₃

2log₂  ¹/₃  > log₂  ¹/₃ ;

log₂(¹/₃)²  >  log₂  ¹/₃

(¹/₃) ² > ¹/₃ ;

¹/₉ > ¹/₃