ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 195. Обоснование действий  на логарифмической  линейке

Известные нам свойства логарифмов позволяют довольно просто обосновать правила действий, выполняемых с помощью логарифмической линейки. В этом параграфе мы рассмотрим два простейших действия — умножение и деление. Предварительно покажем, как с помощью двух простых линеек можно производим, сложение и вычитание чисел.

Каждую из двух одинаковых по длине линеек АВ и СD разобьем на 20 равных частей и отметим эти части на линейке АВ у верхнего края, а на линейке CD у нижнего края (рис. 254).

Пусть к числу 11 нужно прибавить число 5. Отметку 0 на миненке CD установим над отметкой 11 линейки АВ (рис. 255).

Тогда под отметкой 5 на шкале CD будет находиться отметка 16 на шкале АВ. Эта отметка и показывает сумму чисел 11 и 5.

Теперь предположим, что от 18 нужно отнять 6. Над отметкой 18 на шкале АВ установим отметку 0 на шкале CD (рис.   256).

Тогда под отметкой 0 на шкале CD будет находиться отметка 12 на шкале АВ. Эта отметка и показывает разность чисел 18 и 6.

На этом простом принципе основано устройство логарифмической линейки. Только здесь отметки изображают не числа, а их логарифмы. Как известно, сумма логарифмов двух положительных чисел равна логарифму их произведения:

lg a + lg b = lg (ab),

а разность логарифмов двух положительных чисел — логарифму их частного:

lg a — lg b = lg   ^a/_b

Поэтому если на линейках отмечать не сами числа, а их логарифмы, то с помощью двух таких линеек (или шкал) можно будет легко производить умножение и деление чисел.

Примем длину линейки за единицу. Цифрой 1 отметим на ней точку, соответствующую числу lg 1= 0; цифрой 2 — точку, соответствующую числу lg 2 ≈ 0,3010; цифрой 3 — точку, соответствующую числу lg 3 ≈ 0,4771, и т. д. (рис. 257).

Правая крайняя точка будет при этом отмечена числом 10, что соответствует числу lg 10 = 1. В результате мы получим шкалу, которая называется логарифмической шкалой. С помощью двух таких шкал можно производить умножение и деление чисел.

Пусть, например, нужно умножить 2 на 4. Отметку 1 на шкале CD устанавливаем над отметкой 2 на шкале АВ (рис. 258).

Под отметкой 4 на шкале CD читаем отметку 8 на шкале АВ. Эта отметка и показывает произведение чисел 2 и 4.

Аналогично производится деление. Пусть 9 нужно разделить на 6.  Отметку 6 на шкале CD устанавливаем над отметкой 9 на  шкале АВ  (рис.  259).  

Под отметкой  1   на шкале CD   стоит отметка 1,5 на шкале АВ. Эта отметка и дает отношение ⁹/₆.