ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 196. Основные способы решения показательных уравнений

Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

К таким относятся, например, уравнения 3^x = 2^x—1 ,  и другие.

Показательные уравнения, так же как и тригонометрические, в отличие от алгебраических (например, линейных, квадратных), относятся к трансцендентным уравнениям.

Простейшим  показательным   уравнением  является  уравнение

а^x = b,                                           (1)

где а и b — данные положительные числа (a =/= 1), a x — неизвестная величина. Такое уравнение имеет единственный  корень х = log_а b. Более сложные показательные уравнения часто сводятся либо к алгебраическим уравнениям, либо к уравнениям вида   (1).

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.

1. Решить уравнение

5^x—6 = 5^{15 —2x},

Решение подобных уравнений основано на следующем свойстве степеней: если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели. В данном случае это свойство степеней дает:

х — 6 = 15 — 2х,

откуда х = 7.

Проверка. При х = 7    5^x—6 = 5,   5^{15 —2x} = 5. Значит, х = 7 — корень данного уравнения.

Ответ    х = 7.

Аналогично решается уравнение

Действительно,

Поэтому

откуда 2х = — х², или x₁  = 0,  x₂  = — 2. Проверка показывает, что оба эти значения х удовлетворяют данному уравнению.

Ответ.  x₁  = 0,  x₂  = — 2.

По этому же принципу можно решать и показательное уравнение а^x = b, если b есть целая степень числа а. Например, если 3^x = 27, то, представив 27 в виде 27 = 3³, получаем 3^x = 3³, откуда х = 3.

II. Иногда путем введения новой неизвестной величины показательное уравнение сводится к алгебраическому уравнению. Пусть, например, нужно решить уравнение

4^x + 2^x — 6 = 0.

Обозначим 2^x через у. Тогда 4^x = (2²)^x = 2^2x = (2^x)² = у². Поэтому данное уравнение сводится к квадратному уравнению

у² + у — 6  = 0,

из которого получаем: у₁ = 2, у₂ = — 3. Но у = 2^x. Значит, если только данное уравнение имеет корни, то они должны удовлетворять либо уравнению 2^x = 2, либо уравнению 2^x = —3. Первое из этих уравнений имеет корень х = 1; второе же  уравнение корней не имеет, поскольку выражение 2^x не может принимать отрицательных значений. Итак, мы получили: х = 1.

Проверка.  При х = 1

4^x + 2^x — 6 = 4¹ + 2¹ — 6 =  0.

Следовательно, х = 1 — корень данного уравнения.

Ответ.  х = 1.

III. Решить уравнение

2^x = 3^x.

Разделив обе части данного уравнения   на 3^x (такое  деление возможно, поскольку при любом х   3^x > 0), получим: (²/₃)^x = 1.

Но 1 = (²/₃)⁰, поэтому х = 0.  Проверка  показывает, что это действительно корень данного уравнения.

Ответ,   х = 0.

Аналогично решается уравнение 5^2x = 7^3x.

Действительно,    5^2x= (5²)^x =25^x;    7^3x = (7³)^x = 343^x. Поэтому данное уравнение можно переписать в виде

25^x = 343^x.

Отсюда, так же как и в, предыдущем случае, получаем: х = 0.

Упражнения

Решить уравнения (№ 1449 — 1454):

ОТВЕТЫ