ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 201. Постоянные и переменные величины. Понятие функции

С понятием функции мы уже неоднократно сталкивались. В части I мы рассмотрели линейную, квадратную, степенную и тригонометрические функции. Предыдущая глава была посвящена изучению показательной и логарифмической функций. Теперь нам предстоит сделать общий обзор того, что мы уже знаем о функциях, и рассмотреть некоторые новые вопросы.

Наблюдая различные процессы, можно заметить, что величины, участвующие в них, ведут себя по-разному: одни из них изменяются, другие остаются постоянными. Если, например, в треугольнике ABC вершину В перемещать по прямой MN, параллельной основанию АС (рис. 263), то величины углов А, В и С при этом будут непрерывно изменяться, а сумма их, высота h и площадь треугольника будут оставаться неизменными.

Другой пример. Если какой-нибудь газ сжимать при постоянной температуре, то объем его (V) и давление (р) будут изменяться: объем уменьшаться, а давление увеличиваться. Произведение же этих величин, как устанавливает закон Бойля — Мариотта, будет оставаться постоянным:

Vp = c,

где с — некоторая константа.

Все величины можно разделить на постоянные и переменные.

Переменные величины, участвующие в каком-либо процессе, обычно изменяются  не независимо друг  от друга,  а   в тесной связи друг с другом. Например, сжатие газа (при постоянной температуре) приводит к изменению его объема, а это, в свою очередь, обусловливает изменение давления газа. Изменение радиуса основания цилиндра вызывает изменение площади этого основания; последнее же приводит к изменению объема цилиндра и т д. Одна из плавных задач математического изучения того или иного процесса заключается в том, чтобы установить, как изменение одних переменных величин влияет на изменение других  переменных величин.

Рассмотрим несколько примеров. Упомянутый выше закон Бойля — Мариотта говорит, что при постоянной температуре объем газа V изменяется обратно пропорционально давлению р :    V = ^c/_p. Если известно давление, то   по  этой  формуле    можно вычислить объем газа. Аналогично, формула S = πr² позволяет определить площадь круга S, если известен его радиус r. По формуле β = ^π/₂ — α можно найти острый угол прямоугольного треугольника, если известен другой острый угол этого треугольника, и т. д.

При сравнении двух переменных величин одну из них удобно рассматривать как независимую переменную, а другую — как зависимую переменную величину. Например, радиус круга r естественно считать независимой переменной, а площадь круга S = πr²  — зависимой переменной величиной. Аналогично давление газа   р   можно   считать    независимой    переменной    величиной; тогда его объем V = ^c/_p будет зависимой переменной   величиной.

Какую же из двух переменных величин выбрать в качестве зависимой и какую в качестве независимой? Этот вопрос решается по-разному в зависимости от поставленной цели. Если например, нас интересует, к чему приводит изменение давления газа при постоянной температуре, то естественно дпиление принять за независимую, а объем — за зависимую Переменную величину. В этом случае зависимая переменная величина   V будет  выражаться   через   независимую величину  р по формуле: V = ^c/_p . Если же мы   хотим  выяснить   последствия сжатия газа, то лучше объем рассматривать как независимую, а давление —как зависимую переменную величину. Тогда зависимая переменная величина р будет выражаться через независимую переменную величину V по формуле р = ^c/_V .   В    любом из этих случаев две величины связаны между собой так, что каждому возможному значению одной из них соответствует вполне определенное значение другой.

Если каждому значению одной переменной величины х каким-либо образом поставлено в соответствие вполне определенное значение другой величины у, то говорят, что задана функция.

Величину у при этом называют зависимой переменной величиной или функцией, а величину х — независимой переменной величиной или аргументом.

Для выражения того, что у есть функция аргумента х, обычно используют обозначения: у = f (х),   у = g (x) , у = φ (х) и т. д. (читается: игрек равно эф от икс, игрек равно же от икс, игрек равно фи от икс и т. д.). Выбор буквы для обозначения функции (f, g, φ) является, конечно, несущественным. Существенно лишь то, какую связь между величинами х и у выражает эта буква.

Значение, которое принимает функция f (х) при х = а, обозначается f (a). Если, например,  f (х) = x² + 1, то

f (1) = 1² + 1 = 2;

f (2) = 2² + 1 = 5;

f (a + 1) = (а + 1)² + 1 = а² + 2а + 2;

f (2а) = (2а)²+ 1 = 4а² + 1

и  т. д.

Упражнения

1515.    Газ,    находящийся    под   давлением   в 2 атмосферы, сжимается. Как изменяется при этом: а) вес газа; б) его объем; в) его давление?

1516.  По электрической цепи течет ток. С помощью реостата мы   изменяем  сопротивление   цепи.   Изменяется   ли   при  этом: а) ток в цепи; б) напряжение тока?

1517.   Вершина  В  треугольника  ABC движется   по   окружности, диаметр которой совпадает с основанием АС этого  треугольника.  Какие величины в этом процессе остаются   постоянными и какие изменяются?

1518.  

Найти: а) f (0);     б) f (а²); в) f  ( ¹/_a );     г) f (sin а).

1519.   Выразить f (2а) через f (а) для функций:

а) f (х) = sin х;           б) f (х) = tg х;

ОТВЕТЫ