ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 202. Способы  задания функций

Задать функцию — это значит указать, как по значениям аргумента   отыскиваются   соответствующие   значения   функции.

В школьном курсе математики мы привыкли к аналитическому способу задания функции. При таком способе указывается формула, связывающая зависимую переменную величину (функцию) с   независимой  переменной   величиной   (аргументом),   например:

у = √х  ,    у = lg x,  S = πr² , V = ^c/_p

и т. д.

Рассмотрим более сложные примеры функций, заданных аналитически.

Пусть

                                     (1)

Каждому значению х поставлено в соответствие вполне определенное значение у, причем при отрицательных значениях х величина у находится по формуле у = х, а при неотрицательных значениях х — по формуле у = sin х.

Если, например, х = — 2,  то у = х =— 2; если х = ^π/₂, то у = sin ^π/₂ = 1 и т. д.

Не следует думать, что соотношение (1) определяет две функции. Речь идет лишь об одной функции у, которая при отрицательных значениях аргумента х ведет себя как линейная функция у = х, а при неотрицательных значениях аргумента х— как тригонометрическая функция у = sin x.

График рассматриваемой функции представлен на рисунке 264.

Рассмотрим еще один пример:

                      (2)

Это соотношение между величинами х и у также определяет одну функцию. График ее представлен на рисунке 265.

Стрелочка на прямолинейном участке указывает, что точка М не принадлежит графику данной функции. Ведь согласно формуле (2) при х = 0 величина у находится по формуле  у = х², а не по формуле у = 3. Поэтому при х = 0 у также равен 0.

Предположим, что функция у задана посредством некоторого выражения f (х), например:  у = х² , у = tg x и т. д. Если при этом не сделано никаких оговорок относительно того, в каких пределах изменяются значения аргумента х, то мы, будем считать, что выражение  f (х) задает нашу функцию при всех тех значениях х, при которых оно определено. Так, запись у = х² означает, что у = х² при всех действительных значениях х. Аналогично, запись у = lg х означает, что у = lg х  при всех положительных значениях х.

Помимо аналитического способа, на практике часто пользуются графическим способом задания функций. Этот способ удобен, когда задать функцию аналитически довольно трудно (см., например, рис. 266).

Кроме того, при изучении многих процессов мы пользуемся приборами, которые не могут говорить с нами на языке формул. Однако с помощью этих приборов мы получаем кривые, по которым можно судить о характере изменения одних величин в зависимости от изменения других величин. В медицине, например, широко используются электрокардиографы. С помощью этих приборов можно получать электрокардиограммы—кривые, которые отражают изменение электрических импульсов, возникающих в мышце сердца. Такие кривые помогают сделать правильные заключения о работе сердца.

Графический способ задания функции очень часто используется в математике для иллюстрации тех или иных свойств функций. При изучении некоторых процессов удобно пользоваться также табличным способом задания функций. Метеорологи, например, составляют таблицы выпавших осадков в различных точках земного шара. Эти различные точки земного шара выступают в данном случае в роли «значений аргумента», а количества осадков — в роли «значений функции».

Упражнения

ОТВЕТЫ