|
|
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX § 203. Область определения и область изменения функции Каким бы способом ни была задана функция y = f (x), рассматривая ее, мы всегда имеем дело с двумя множествами: множеством значений, которые может принимать аргумент х, и множеством значений, которые может принимать функция у. Например, для функции у = 2х (рис. 267) множеством всех значений, которые может принимать аргумент х, является совокупность всех действительных чисел, а множеством всех значений, которые может принимать функция у,—совокупность всех положительных чисел.
Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции y = f (x), называется областью определения этой функции. Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции. Например, областью определения функции у = sin x (рис. 268) является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных между — 1 и 1, включая эти два числа.
Для функции у = lg x (рис. 269) областью определения является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел и т. д.
Ранее мы изучали числовые последовательности. Члены любой числовой последовательности можно рассматривать как возможные значения некоторой функции, определенной для натуральных значений аргумента. Например, члены последовательности 1, 1/2 , 1/3 , 1/4 , ... ,1/n , .... являются значениями функции у = 1/n, а члены последовательности 1, —1, 1, —1,. — значениями функции у = (— 1)n+1. Каждую из этих функций мы рассматриваем как функцию, определенную только для натуральных значений аргумента п. Вот почему иногда говорят, что числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Рассмотрим несколько более сложных примеров на нахождение области определения функции. Пример 1. Найти область определения функции Эта функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби x2 + 2x — 3 обращается в нуль. Решая уравнение x2 + 2x — 3 = 0, находим: x1 = 1, x2 = —3. Полому облжтыо определении данной функции является совокупность всех действительных чисел, кроме 1 и —3. Пример 2. Найти область определения функции
Корни квадратные определены только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетворяющих неравенству
Прежде всего выясним, при каких значениях аргумента х числитель и знаменатель этой дроби положительны и при каких отрицательны. Решая неравенство 2х — 4 > 0, получаем х > 2. Таким образом, при х >2 числитель положителен; при х < 2 он, очевидно, отрицателен. Это отмечено на рисунке 270. Заштрихованная часть верхней числовой прямой соответствует той области, в которой он положителен, а незаштрихованная — той области, в которой он отрицателен.
Аналогично исследуется знаменатель 3 — 6х. Имеем: 3 — 6х > 0; Заштрихованная часть второй числовой прямой на рисунке 270 соответствует области, в которой знаменатель 3 — 6х положителен, а незаштрихованная — области, в которой он отрицателен. Из рисунка 270 видно, что оба выражения (числитель и знаменатель) имеют одинаковые знаки только при 1/2 < х < 2. Поэтому в этой области дробь 1/2 < х < 2. Пример 3. Найти область определения функции
Десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значении х, удовлетворяющих неравенству
Выполнив вычитание в левой части этого неравенства, получим:
Числитель этой дроби положителен при х > 1 и отрицателен при х < 1, а знаменатель положителен при х > — 1 и отрицателен при х < — 1 (рис. 271).
Поэтому дробь положительна при х < — 1 и при х > 1. Все эти значения х можно записать в виде одного неравенства | х | > 1. Пример 4. Найти область определения функции
Во-первых, tg х не определен для х = π/2 + nπ. Во-вторых, данная дробь не определена для тех значений х, при которых знаменатель обращается в нуль. Эти значения находятся из уравнения sin х — cos х = 0. Это однородное тригонометрическое уравнение. Деля обе его части на cos x (докажите, что это деление возможно!), получим: tg x = 1, откуда х = π/4 + kπ. Итак, областью определения данной функции является совокупность всех действительных чисел, кроме π/2 + nπ и π/4 + kπ , где п и k — произвольные целые числа. Теперь мы рассмотрим несколько примеров на нахождение области изменения функции. Пример 5. Как известно, линейная функция у = ах + b при а =/= 0 принимает любые действительные значения. Поэтому областью изменения этой функции является совокупность всех действительных чисел. Пример 6. Найти область изменения функции у = x2 — 4х + 7. Преобразуем квадратный трехчлен x2 — 4х + 7, выделив из него полный квадрат: у = x2 — 4х + 4 + 3 = (х — 2)2 + 3. Выражение (х — 2)2 принимает, очевидно, все неотрицательные значения. Поэтому областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных 3. Эту область можно задать с помощью неравенства у > 3. Пример 7. Найти область изменения функции у = sin х + cos x. Представив данную функцию в виде y = √2 sin ( x + π/4 ) (вспомните, как это делается!), нетрудно понять, что область её изменения определяется неравенством — √2 < у < √2 или | у | < √2,
ОТВЕТЫ
|
положительна. При х = 2 она обращается в 0. Следовательно, областью определения данной функции является совокупность действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
