|
|
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX § 204. Возрастание и убывание функций Функция f (х) называется монотонно возрастающей (или просто возрастающей) в интервале а < х < b, если из условия x2 > x1 , вытекает, что f (х2) > f (х1) При этом а < х2 < b, а < х1 < b. Другими словами, функция называется монотонно возрастающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует большее значение функции. Например, функция у = sin x ( рис. 268)
является возрастающей в интервалах — π/2 < х < π/2 , 3/2 π < х < 5/2 π, 7/2 π < х < 9/2 π Функция у = 2x ( рис. 267)
является возрастающей на всей числовой прямой. Функция у = ( 1/2 )x нигде не возрастает (рис. 272).
Если функция у = f (х) монотонно возрастает в интервале а < х < b, то график ее в этом интервале с ростом х поднимается все выше и выше. Это, конечно, не означает, что график «уходит» вверх как угодно высоко. Например, график функции у = — 1/x при положительных значениях х (см. рис. 273) поднимается с ростом аргумента все выше и выше. Тем не менее он никогда не перейдет и даже не дойдет до оси абсцисс.
Функция у = f (х) называется монотонно убывающей (или просто убывающей) в интервале а < х < b, если из условия x2 > x1 вытекает, что f (х2) < f (х1) При этом а < х2 < b, а < х1 < b. Другими словами, функция называется монотонно убывающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует меньшее значение функции. Например функция у = sin x монотонно убывает в интервалах π/2 < х < 3/2 π , 5/2 π < х < 7/2 π, 9/2 π < х < 11/2 π и т. д. Функция у = ( 1/2 )x убывает на всей числовой прямой. Функция у = 2x нигде не убывает. Если функция f (х) монотонно убывает в интервале а < х < b, то график ее в этом интервале с ростом х опускается все ниже и ниже. Это также не означает, что график «уходит» как угодно далеко вниз. Учащимся предлагается самостоятельно построить соответствующий рисунок. Функции, которые в интервале а < х < b только возрастают или только убывают, называются монотонными в этом интервале. До сих пор мы говорили об интервале а < х < b. Такой интервал включает в себя крайние точки х = а и х = b и потому называется замкнутым интервалом. Но в некоторых случаях говорить о замкнутом интервале нехорошо. Неудобно, например, говорить о проведении функции у = tg x в интервале — π/2 < х < π/2 . Ведь при х = — π/2 и х = π/2 эта функция вообще не определена. Поэтому вместо интервала — π/2 < х < π/2 лучше говорить об интервале — π/2 < х < π/2 . Такой интервал не содержит крайних точек х = — π/2 и х = π/2 и поэтому называется открытым интервалом. В дальнейшем нам придется говорить как об открытых, так и о замкнутых интервалах. Однако в каждом из этих случаев будет ясно, о каком интервале идет речь, и потому мы будем говорить просто об интервалах. Отметим лишь, что замкнутый интервал а < х < b обычно записывается в виде [а, b], а открытый интервал а < х < b — в виде (а, b). Упражнения Определить участки возрастания и участки убывания данных функций; построить графики этих функций (№ 1570—1585):
1586. Определить участки возрастания и участки убывания функций: а) у = 23 — 6x ; б) у = ( 1/2 ) 2x— 5. 1587. Доказать, что сумма двух функций, монотонно возрастающих в некотором интервале, есть функция, монотонно возрастающая в этом интервале. 1588. Будет ли разность двух монотонно возрастающих функций монотонно возрастающей функцией? ОТВЕТЫ
|
