ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX
§ 207. Периодические функции
Функция у = f (x) называется периодической, если существует число Т =/= 0, такое, что при всех значениях х из области определения зтой функции.
f (x + T) = f (x) .
Число Т в этом случае называется периодом функции.
Периодическими являются, например, тригонометрические функции у = sin х и у = cos х. Их период равен 2π. Примером периодической нетригонометрической функции может служить функция у = {х}, которая каждому числу х ставит в соответствие его дробную часть*.
* О дробной части числа см. в главе VIII, § 187.
Например, {3,56} = 0,56; {2,01} = 0,01 и т.д. Если к произвольному числу х прибавить 1, то изменится лишь целая часть этого числа; дробная же часть останется прежней. Следовательно, {х + 1} = {х} и потому функция у = {х} является периодической с периодом 1.
Из равенства f (x + T) = f (x) следует, что все значения функции у = f (x) повторяются с периодом T. Это находит свое отражение и в графическом изображении периодических функций. Так, например, в интервале [0, 2π] синусоида имеет ту же самую форму, что и в интервалах [2π, 4π], [4π, 6π] и т. д. (рис. 282).
На рисунке 283 представлен график функции у = {х}. Периодичность функции у = {х} обусловливает то, что график ее в интервале [0, 1] имеет ту же самую форму, что и в интервалах [1, 2], [2, 3] и т. д.
Если Т — период функции f (x), то 2Т, 3T, 4Т и т. д. также периоды этой функции.
Действительно,
f (x + 2T) = f [(x + T) + Т] = f (x + T) = f (x),
f (x + 3T) = f [(x + 2T) + Т] = f (x + 2T) = f (x)
и т. д. Кроме того, периодом функции f (x) можно считать и любое из чисел: — Т, — 2T, — 3Т и т. д. В самом деле,
f (x — Т) = f[(x — Т) + Т] = f (x),
f (x — 2Т) = f [(x — 2Т) + 2Т] = f (x)
и т. д. Итак, если число Т есть период функции f (x), то при любом целом п число пТ также период этой функции. Поэтому всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Например, периодом функции у = sin x можно считать любое из чисел: 2π, 4π, 6π, — 2π, — 4π, а периодом функции у = {х} — любое из чисел: 1, 2, 3, — 1, — 2, — 3 и т. д.
Говоря о периоде функции у = f (x), обычно имеют в виду наименьший положительный период. Так, мы говорим, что периодом функции у = sin х является число 2π, периодом функции у = tg х — число π, периодом функции {х} — число 1 и т. д.
Следует, однако, иметь в виду, что наименьшего положительного периода у периодической функции может и не быть.
Например, для функции f (x) = 3 (рис. 284) любое действительное число является периодом. Но среди положительных действительных чисел не существует наименьшего. Поэтому и функция f (x) = 3, имея бесконечное множество периодов, не имеет наименьшего положительного периода.
Упражнения
Для каждой из данных функций (№ 1613—1621) найти наименьший положительный период:
1613. у = sin 2х. 1619. у = sin (3х — π/4).
1614. у = cos x/2. 1620. у = sin2 х
1615. у = tg 3х. 1621. у = sin4 х + cos4 х.
1616. у = cos (1 — 2х).
1617. у = sin х cos х.
1618. у = ctg x/3;
1622. Доказать, что сумма и произведение двух функций, периодических с одним и тем же периодом Т, являются функциями, периодическими с периодом Т.
1623*. Докажите, что функция у = sin х + {х}, являющаяся суммой двух периодических функций у = sin х и у = {х}, сама не является периодической.
Не противоречит ли это результату предыдущей задачи?
1624. Как достроить график функции у = f (x), периодической с периодом Т, если он задан лишь в интервале [0, Т]?
ОТВЕТЫ
|