ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 208. Обратные функции

Каждому допустимому значению переменной величины х равенство у = f (x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины у. Однако в некоторых случаях соотношение у = f (x) можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины у ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины х. Поясним это на конкретных примерах.

Пример 1. Равенство у = 2х — 1 каждому значению у ставит в соответствие следующее  значение х:   х = .

Например,

при у = 1 х = 1; при у = 2  х = 1,5; при у = 3  х = 2 и т. д. Поэтому можно сказать, что равенство у = 2х — 1 определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: х = ..

Пример 2. Равенство у = 2^х каждому положительному значению у ставит в соответствие следующее значение х : х = log₂ у. Например, при  у = 1 х = log₂1 = 0; при у = 2 х = log₂2 = 1; при у = 3 х = log₂ 3 и т. д. Следовательно, равенство у = 2^х определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: х =  log₂ у.

Пример 3. При  — ^π/₂ <  х  <  ^π/₂   равенство у = sin x каждому значению у, заключенному в интервале от — 1 до + 1, ставит в соответствие число х, равное arcsin у. Например, при у = — 1 х = arcsin (— 1) = — ^π/₂; при у = 0  х = arcsin 0 = 0;
при у = ¹/_√2   х = arcsin.¹/_√2 =  ^π/₄   и т. д.   Следовательно,  равенство у = sin x при дополнительном условии, что — ^π/₂ <  х  <  ^π/₂,   определяет  х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эту функцию можно записать следующим образом:

х = arcsin у

Вообще,  пусть,  исходя  из равенства у = f (x),  по каждому допустимому значению величины у можно восстановить одно и т о л ь к о одно значение величины x. Тогда это равенство определяет х как некоторую функцию от у.

Обозначим эту функцию буквой φ :  х = φ (у).

В этой формуле у выступает в роли аргумента, а х — в роли функции. Вошло в обычай букву х употреблять для обозначения аргумента, а букву у — для обозначения функции. Поэтому ту  функциональную зависимость, которая обозначена буквой φ, мы перепишем в виде:

у = φ (х).

Так определенная функция у = φ (х) называется обратной по отношению к функции     у = f (x)

Примеры.

1) Исходя из равенства у = 2х — 1, мы получили х =  .

Поэтому функция у =       является  обратной   к   функции у = 2х — 1.

2)  Исходя   из   равенства    у = 2^х,   мы   получили  х = log₂ у.

Поэтому функция  y = log₂ x является обратной к функции у = 2^х.

3)  Исходя из равенства у = sin х при — ^π/₂ <  х  <  ^π/₂, мы   получили х = arcsin у. Поэтому функция у = arcsin x является обратной   к  функции  у = sin х,   рассматриваемой   на   интервале  — ^π/₂ <  х  <  ^π/₂

Отметим, что область определения и область изменения функции у = f (x) и обратной к ней функции у = φ (х) как бы меняются ролями.

То, что для функции у = f (x) было областью определения, для обратной функции у = φ (х) становится областью изменения, а то, что для функции  у = f (x) было областью изменения, для обратной функции у = φ (х) становится областью определения.

Так, например, для функции у = 2^х областью определения является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Для обратной к ней функции  y = log₂ x, наоборот, совокупность всех положительных чисел является областью определения, а совокупность всех действительных чисел — областью изменения.

Для любой ли функции у = f (x) существует обратная функция у = φ (х)? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два примера.

Пример 1. Каждому значению у по формуле у = х² соответствует два значения х; например, значению у = 1 соответствуют значения х = + 1 и х = — 1; значению у = 4 соответствуют значения х = 2  и х = —  2 и т. д. Поэтому если функцию у = х²  рассматривать на всей числовой прямой (или при всех действительных значениях х), то она не будет иметь обратной функции. Однако если эту функцию рассматривать только при положительных значениях х, то она будет обладать обратной функцией. По значению квадрата положительного числа это число восстанавливается однозначно. Обратную функцию в данном случае можно записать в виде у = √x.

Пример 2. Каждому значению величины у, заключенному в интервале от —1 до 1, по формуле у = sin x соответствует бесконечное множество значений х. Например, при     у = 0 такими значениями х являются 0, π, 2π, 3π и т. д.;   при у = 1   х = ^π/₂,   ⁵/₂ π,     ⁹/₂ π и т. д.  Поэтому если функцию у = sin x  рассматривать на всей числовой прямой (или при всех действительных значениях х), то она не будет иметь обратной функции. Если же эту функцию рассматривать только при — ^π/₂ <  х  <  ^π/₂, то по значениям   у значения х восстанавливаются однозначно. Следовательно, при — ^π/₂ <  х  <  ^π/₂   функция у = sin x имеет обратную функцию у = arcsin x.

Нетрудно подметить то общее, что делали мы в обоих примерах при нахождении функций, обратных к данным. Для каждой из данных функций мы выделяли интервал, в котором она является монотонной. Можно доказать общее утверждение:

если функция  f(x)  монотонно возрастает (или убывает) в интервале [а, b], то при    а < x < b   существует обратная к ней функция.

Упражнения

В упражнениях № 1625—1628 найти функции, обратные к данным. Указать области определения и области изменения данных и обратных к ним функций:

1625.  y = x³.    1626.  y = log_½ x.   1627.  y = .   1628.  y = x²   (х<0).

1629.  Доказать, что при а = =/= 0 функция, обратная к линейной функции у = ах + b, есть функция линейная.

1630.  Доказать,   что функция,   обратная  к  дробно-линейной функции  ( ad — bc =/= 0),   сама   является  дробно-линейной.

1631.   Какому условию должны удовлетворять числа а, b, с и d, чтобы   дробно-лине йная   функция     была   тождественна равна обратной к ней функции?

Приведите несколько примеров.

1632.  Существует ли функция, обратная к функции у = cos x в интервале:

а)  — ^π/₂ < x <   ^π/₂  ;        б)   0 < x <   π;    в)  ^π/₂ < x <  ³/₂ π?

1633.  Существует ли функция, обратная к функции у = tg х в интервале:

а) — ^π/₂ < x <   ^π/₂  ;      б)    0 < x <   π;    в)   ^π/₂ < x <  ³/₂ π?

1634.  Существует ли функция,  обратная  к функции у = {х} в интервале:

а)   0 < x < ¹/₂;      б)   0  < x <   1;     в)   0 <  х  < 1;    г) ¹/₂ < x < ³/₂?

ОТВЕТЫ