ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 209. Взаимное расположение графиков прямой и обратной   функций

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о взаимном расположении графика функции у = f (х) и графика обратной к ней функции у = φ (х). Для этого нам потребуется следующая лемма.

Лемма. Точки плоскости с координатами  (a,b)  u  (b,а) симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Доказательство. Пусть точка Р имеет координаты (а, b), а точка Q — координаты (b, а) (рис. 285).

Опустим из этих точек перпендикуляры на оси координат. В результате получим:

ОА = OD = а;         ОВ = ОС = b.

Перегнем чертеж по прямой ОМ — биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов. Тогда ось у пойдет по оси х , так как /   MOB  = /   МОС. Точка В совместится с точкой С, поскольку ОВ = ОС, а ВР пойдет по CQ, так как через точку С можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную оси x . А в силу того, что ВР = CQ, точка Р совпадет с точкой Q.

Таким образом, если перегнуть чертеж по биссектрисе ОМ, то точки Р и Q совпадут. А это и означает, что они симметричны друг другу относительно биссектрисы ОМ.

Лемма доказана. Пусть теперь точка Р с координатами (а, b) принадлежит графику функции у = f (х). Тогда значению у  = b равенство у = f (х) ставит в соответствие значение х = а. Но это означает, что точка Q с координатами (b, а) должна принадлежать графику обратной функции у = φ (х).

Итак, если точка Р с координатами  (а, b)  принадлежит графику функции у = f (х), то точка Q с координатами (b, а) должна принадлежать графику обратной функции у = φ (х). Эти точки симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Таким образом, какую бы точку Р на графике функции у = f (х) мы ни взяли, на графике обратной к ней функции у = φ (х) обязательно найдется точка Q, симметричная точке Р относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Вот почему графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (см., например, рис. 286, на котором представлены графики взаимно обратных функций у = 2^х и у = log₂ x).

Упражнения

На одном и том же чертеже построить   графики   данной   и обратной к ней функций (№ 1635—1641):

1642. Каковы особенности графика функции у = f (х), если эта функция тождественно равна обратной к  ней функции?

Ответ  пояснить   примерами   (см., например, задачу № 1631)