ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 210. Краткий обзор свойств и графиков  ранее   изученных  функций

В этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций. При этом  мы будем придерживаться   следующего   плана:   

1)   область   определения   функции;
2)  область изменения функции;
3)  четность функции;
4)  периодичность функции;
5)  интервалы знакопостоянства;
6)  нули функции, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль;
7)  монотонность функции;
8)  локальные экстремумы функции;
9)  поведение функции вблизи «особых» точек (например, функции  у = 1/x   вблизи    точки х = 0).

Впрочем, порядок этот не является обязательным и в некоторых случаях для пользы дела может быть смело изменен. Отметим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда полезно сопровождать геометрической интерпретацией на графике исследуемой функции.

1. Квадратная функция    у = ax2  + bx + c    (а =/= 0)

Эта функция определена для всех значений х, так что областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина которой  имеет  координаты    (      ) При  а > 0   парабола направлена вверх (рис. 287), а при а < 0 — вниз (рис. 288).

    

Если а > 0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных   ; если же  а < 0, то областью изменения ее служит множество всех чисел, меньших или равных    .

При b =/= 0 функция  у = ax2  + bx + c   не будет ни четной, ни  нечетной,  поскольку   ни  одно  из равенств

ax2bx + c = ax2 + bx + c,

[f(— х) = f (x)]

и

ax2bx + c = = — (ax2 + bx + c),

[f(— х) = — f (x)]

не выполняется тождественно.

При b = 0 квадратная функция принимает вид у = ax2 + c и потому является четной функцией.

Данная функция  непериодична. Если дискриминант

d = b2 — 4ас

отрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак — знак коэффициента а (см. рис. 289 для а > 0 и рис. 290 для а < 0).

  

Если дискриминант d положителен, то функция имеет два нуля:

Если к тому же а > 0, то функция положительна при х < x1 и х > x2, а отрицательна при x1 < х < x2 (см. рис. 287).

В случае, когда d > 0, а а < 0, функция положительна при x1 < х < x2, а отрицательна при  х < x1   и   х > x2 (см. рис. 288).

Наконец, возможен и случай, когда d = 0.  Тогда квадратная функция имеет единственный нуль

x =

При всех значениях х =/=    она сохраняет один и тот же знак — знак коэффициента а.

В случае, когда а > 0, квадратная функция у = ax2  + bx + c 

монотонно убывает при х <  и   монотонно   возрастает  при х  > (см. рис. 287 и рис. 289).  

В случае,  когда а <. 0, она, наоборот, монотонно возрастает при х  <   и монотонно убывает при   х    (см. рис. 288 и рис. 290).

Данная функция имеет единственный локальный экстремум

y экстр

Этот экстремум достигается при х   и является минимумом при а > 0 (рис. 287 и рис. 289) и максимумом при а < 0 (рис. 288 и рис. 290).

2. Степенная функция    у = хr.

Область определения такой функции зависит от r.

Например, при r = 1 (у = х) это будет совокупность всех действительных   чисел,    при  r = 1/2  ( у = √x) — совокупность неотрицательных чисел, при r = 0 ( у = х0 ) — совокупность всех чисел, кроме 0. Для положительных значений х функция  у = хr определена всегда, независимо от того, чему равно r.

Область изменения функции у = хr  также зависит от r. Например, функция у = х (r = 1) может принимать все действительные значения, функция у = x2 (r = 2) — только   неотрицательные   значения, а функция  у = х0 (r = 0) — лишь одно значение, равное 1.

Среди степенных  функций есть четные и нечетные. Например, функции у = x2, у = x4   — четные, а функции у = x3, у = x—3 — нечетные. Некоторые степенные функции (например, у = √x) определены лишь для неотрицательных значений аргумента. Для них ставить вопрос о четности не имеет смысла.

Степенная функция у = хr непериодична.

При х > 0 степенная функция  у = хr  независимо от r положительна.

Некоторые степенные функции (например,  у = 1/x, у = х—3/2 не имеют нулей, для других же нулем является число 0 (например, для функций у = √x  ,  у = x3) и т. д.;

Если число r положительно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно возрастает (рис. 291). Если же r отрицательно, то при х  > 0 степенная функция у = хr монотонно убывает (рис. 292).

  

Некоторые степенные функции, например у = x2, у = x4, имеют локальный минимум в точке х = 0.

Отметим еще поведение функций у1/x   и у   вблизи   точки   х = 0.

Когда х  стремится   к   нулю, оставаясь положительным, функция у1/x неограниченно возрастает. Когда же х стремится  к нулю,  оставаясь отрицательным,  она неограниченно   убывает (рис. 293).

Функция у  при приближении х к нулю (как слева,  так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294).

3. Тригонометрические функции

Из  тригонометрических  функций   мы  рассмотрим   лишь  две функции: у = sin х   и     у = tg x.

Областью определения функции у = sin х является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных в интервале [— 1,1].

Функция является нечетной и периодической с периодом 2π .

В интервалах 2пπ <  x <  π + 2пπ  эта функция положительна,
а в интервалах  π + 2пπ  < x <  2π + 2пπ  отрицательна (рис. 295).

При х = пπ она обращается в нуль.

В интервалах —  π/2 + 2пπ < х < π/2 + 2пπ функция монотонно возрастает, а в интервалах     π/2 + 2пπ < х <  3/2 π  + 2пπ  монотонно убывает.

Точки х  = π/2 + 2пπ являются точками локального максимума функции у = sin х . В них она принимает   наибольшие   значения, равные 1. Точки  х  = — π/2 + 2пπ являются точками локального минимума. В них функция принимает наименьшие значения, равные — 1.

Функция у = tg x определена при   всех   значениях  х,   кроме  х  = π/2 + пπ. Областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.

Эта функция нечетна и периодична с периодом π (рис. 296).

В интервалах пπ < х < π/2 + пπ она положительна, а в интервалах — π/2 + пπ < х < пπ отрицательна. При х = пπ функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = π/2 + пπ, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к  π/2 + пπ, оставаясь меньше π/2 + пπ, значения функции у = tg x неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются  к  π/2 + пπ, оставаясь больше этих значений, функция у = tg x неограниченно убывает.

4.  Показательная функция    у = ах     (а >0,   а =/= 1)

Областью определения этой функции  является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, ни нечетной. Не является она и периодической. При всех значениях аргумента х эта функция положительна. При а > 1 показательная функция у = ах является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 298). Точек локальных экстремумов функция не имеет.

5. Логарифмическая функция  у = loga x    (а >0,   а =/= 1)

Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является периодической. Если а >1, то при х > 1 функция положительна, а при х < 1 отрицательна (рис. 299).

   

Если же а < 1  то, наоборот, при х > 1 функция отрицательна, а при х < 1 положительна (рис. 300). Единственным нулем логарифмической функции является точка х = 1. При а > 1 эта функция является монотонно возрастающей (рис. 299), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 300). Локальных экстремумов функция не имеет. Если а >1, то при приближении х к нулю функция неограниченно убывает; если же а < 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает.

Упражнения

По плану, описанному в данном параграфе, исследовать функции (№ 1643—1652):

1643.  у  = sin2  х.

1644.  у  = sin 2x.

1645.  у  = — |cos x].

1646.  у  = sin ( x —  π/4 )

1647.  у  = tg ( x +  π/4 ).

1648.  у  = x2 — 4x +5.

1649. у  = x2 + x — 7.

1650.  у  = 1 + x — 2x2

1651.  у  = х x .

1652.  у  =

 

Используются технологии uCoz