ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX
§ 211. Предел функции
Прежде чем дать общее определение предела функции, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть f(х) = x2. Если аргумент х пробегает ряд значений, сходящихся к числу 2, то функция f(х) будет пробегать ряд значений, сходящихся к числу 4. Это можно заметить, рассматривая таблицу приближенных значений функции |x2 — 4|:
Чем ближе значение аргумента х к 2, тем меньше абсолютная величина разности x2 — 4.
В этом можно убедиться и строго математически, не обращаясь к табличной иллюстрации. Докажем, что, какое бы малое положительное число ε мы ни взяли, всегда можно указать такой интервал, содержащий внутри себя точку х = 2, что для всех точек этого интервала будет выполняться неравенство |x2 — 4| < ε.
Действительно, неравенство |x2 — 4] < ε эквивалентно двойному неравенству
— ε < x2 — 4 < ε,
откуда получаем:
4 — ε < x2 < 4 + ε,
√4 — ε < х < √4+ ε.
(Мы учитываем только положительные значения х, поскольку поведение функции у = x2 нас интересует сейчас лишь вблизи точки х = 2.)
Итак, неравенство |x2 — 4| < ε выполняется в интервале √4 — ε < х < √4+ ε, который содержит внутри себя точку х = 2.
Например, равенство |x2 — 4| < 0,1 (ε = 0,1) выполняется в интервале √3,9 < х < √4,1 или 1,98 < х < 2,02 ; неравенство |x2 — 4| < 0,01 (ε = 0,01) выполняется в интервале √3,99 <
х < √4,11 или 1,998< х < 2,002.
Интервал (√4 — ε, √4+ ε) можно было бы построить и геометрически.
Пусть А есть точка графика функции у = x2 с абсциссой х = 2 (рис. 301).
По обе стороны от этой точки проведем горизонтальные прямые, отстоящие от А на расстоянии ε. Эти прямые пересекают правую часть параболы у = x2 в точках В и С. Опуская из них перпендикуляры на ось абсцисс, получим отрезок В'С'. Этот отрезок и представляет собой интервал (√4 — ε,
√4+ ε) , который раньше мы получили алгебраически.
Итак, если значения аргумента х выбирать достаточно близкими к 2, то значения функции у = x2 будут как угодно мало отличаться от 4. Можно, например, добиться, чтобы выполнялись неравенства
|x2 — 4| < 0,001;
|x2 — 4| < 0,0001
и т. д. Число 4 в таком случае естественно назвать пределом функции у = x2 при х, стремящемся к 2.
Пример 2. Рассмотрим таблицу значений функции у = вблизи точки х = 3.
При х = 3 наша функция не определена: числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Если же значения х выбирать достаточно близкими к 3 (но не равными 3), то соответствующие значения у будут сколь угодно близки к 6.
Не ограничиваясь табличной иллюстрацией, докажем этот факт строго математически, а именно: покажем, что для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, можно указать такой интервал, содержащий точку х = 3, что всюду внутри него, за исключением самой точки х = 3, будет выполняться неравенство
| y — 6 | < ε ; (1)
Действительно, если х =/= 3, то
= x +3
Поэтому неравенство (1) сводится к такому неравенству:
|x + 3 —6| < ε ,
или
| х — 3| < ε.
Последнее неравенство эквивалентно двойному неравенству
— ε < x —3 < ε,
откуда получаем:
3 — ε < х < 3 + ε.
Таким образом, неравенство (1) выполняется для всех значений х, заключенных в интервале от 3 — ε до 3 + ε, кроме значения х = 3.
Если, например, мы хотим, чтобы значение у отличалось от 6 меньше, чем на ε = 0,01, то должны рассматривать значения х в интервале от 3 — 0,01 до 3 + 0,01, то есть в интервале (2,99; 3,01). Аналогично, при ε = 0,001 мы получили бы интервал (3 — 0,001; 3 + 0,001), или (2,999; 3,001) и т. д.
Интервал 3 — ε < х < 3 + ε можно было бы построить и геометрически. Это построение вполне аналогично тому, которое мы делали при рассмотрении примера 1. Поэтому мы ограничимся лишь тем, что приведем соответствующий рисунок (рис. 302), предлагая учащимся самостоятельно в нем разобраться.
Итак, если значения аргумента х выбирать достаточно близкими к 3, но не равными 3, то значения функции f (х) будут сколь угодно мало отличаться от 6. Можно, например, добиться, чтобы величина | у — 6| была меньше 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Hесмотря на то что рассматриваемая функция не определена при х — 3, естественно считать, что предел ее при х —> 3 существует и равен 6.
Рассмотрев примеры, мы переходим к следующему определению предела функции.
Число b называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа ε можно указать такой открытый интервал, содержащий точку х = а, что всюду внутри него за исключением, быть может, самой точки х = а, будет выполняться неравенство
| f (х) — b | < ε.
Тот факт, что предел функции f (х) при х, стремящемся к а, равен b, записывается следующим образом:
lim f (х) = b х—>а
(читается: предел f (х) при х, стремящемся к а, равен b).
Например,
Упражнения
Исходя из определения предела, доказать следующие соотношения (№ 1653— 1658)
1659. Почему при нахождении пределов некоторых дробей (см., например, упр. № 1655—1657) возможно сокращение этих дробей? Ведь то выражение, на которое мы сокращаем, может обратиться в нуль!
|