ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 211. Предел функции

Прежде чем дать общее определение предела функции, рассмотрим несколько  примеров.

Пример 1. Пусть f(х) = x2. Если аргумент х пробегает ряд значений, сходящихся к числу   2, то функция f(х) будет пробегать ряд значений, сходящихся к числу 4. Это можно заметить, рассматривая таблицу приближенных значений функции  |x2 — 4|:

Чем ближе значение аргумента х к 2, тем меньше абсолютная величина разности
x
2 — 4.

В этом можно убедиться и строго математически, не обращаясь к табличной иллюстрации. Докажем, что, какое бы малое положительное  число ε мы ни взяли, всегда можно указать такой интервал, содержащий внутри себя точку х = 2, что для всех точек этого интервала будет выполняться неравенство |x2 — 4|   < ε.

Действительно, неравенство |x2 — 4] < ε эквивалентно двойному неравенству

ε < x2 — 4 < ε,

откуда получаем:

4 — ε < x2 < 4 + ε,

4 — ε < х < √4+ ε.

(Мы   учитываем   только   положительные   значения   х,   поскольку   поведение функции у = x2 нас интересует сейчас лишь вблизи точки х = 2.)

Итак, неравенство  |x2 — 4|  < ε выполняется в интервале √4 — ε < х < √4+ ε, который содержит внутри себя точку х = 2.

Например, равенство  |x2 — 4| < 0,1 (ε = 0,1) выполняется в интервале √3,9 < х < √4,1  или 1,98 < х < 2,02 ; неравенство  |x2 — 4| < 0,01 (ε = 0,01) выполняется в интервале  √3,99 < х < √4,11   или 1,998< х < 2,002.

Интервал (√4 — ε, √4+ ε) можно было бы построить и геометрически.

Пусть А есть точка графика функции уx2  с абсциссой х = 2 (рис. 301).

По обе стороны от этой точки проведем горизонтальные  прямые,   отстоящие   от А на расстоянии ε. Эти  прямые пересекают правую часть параболы  уx2   в точках В и С. Опуская из них перпендикуляры на ось абсцисс, получим отрезок В'С'. Этот отрезок и представляет собой интервал (√4 — ε, √4+ ε) , который раньше мы получили алгебраически.

Итак, если значения аргумента х выбирать достаточно близкими к 2, то значения функции уx2 будут как угодно мало отличаться от 4. Можно, например, добиться, чтобы выполнялись неравенства

 |x2 — 4|  < 0,001;

 |x2 — 4|  < 0,0001

и т. д. Число 4 в таком случае естественно назвать пределом  функции уx2 при х, стремящемся к 2.

Пример  2.   Рассмотрим таблицу значений функции у =    вблизи точки х = 3.

При х = 3 наша функция не определена: числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Если же значения х выбирать достаточно близкими к 3 (но не равными 3), то соответствующие значения у будут сколь угодно близки к 6.

Не ограничиваясь табличной иллюстрацией, докажем этот факт строго математически, а именно: покажем, что для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, можно указать такой интервал, содержащий точку х = 3, что всюду внутри него, за исключением самой точки х = 3,  будет выполняться неравенство

| y — 6 | < ε ;              (1)

Действительно, если х =/= 3, то

= x +3

Поэтому неравенство (1) сводится к такому неравенству:

|x + 3 —6| < ε ,

или

| х — 3| < ε.

Последнее неравенство эквивалентно двойному неравенству

ε < x —3 < ε,

откуда получаем:

3 — ε < х < 3 + ε.

Таким образом, неравенство (1) выполняется для всех значений х, заключенных в интервале от 3 — ε до 3 + ε, кроме значения х = 3.

Если, например, мы хотим, чтобы значение у отличалось от 6 меньше, чем на ε = 0,01, то должны рассматривать значения х в интервале от 3 — 0,01 до 3 + 0,01, то есть в интервале (2,99; 3,01). Аналогично, при ε = 0,001 мы получили бы интервал (3 — 0,001; 3 + 0,001), или (2,999; 3,001) и т. д.

Интервал  3 — ε < х < 3 + ε  можно было бы построить и геометрически. Это построение вполне аналогично тому, которое мы делали при рассмотрении примера 1. Поэтому мы ограничимся лишь тем, что приведем соответствующий рисунок (рис. 302), предлагая учащимся самостоятельно в нем разобраться.

Итак, если значения аргумента х выбирать достаточно близкими к 3, но не равными 3, то значения функции f (х) будут сколь угодно мало отличаться от 6. Можно, например, добиться, чтобы величина | у — 6| была меньше 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Hесмотря на то что рассматриваемая функция не определена при х — 3, естественно считать, что предел ее при х —> 3 существует и равен 6.

Рассмотрев примеры, мы переходим к следующему определению предела  функции.

Число b называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа ε можно указать такой открытый интервал, содержащий точку ха, что всюду внутри него за исключением, быть может, самой точки х = а, будет выполняться неравенство

| f (х) —  b | < ε.

Тот факт, что предел функции  f (х)  при х, стремящемся к а,   равен b, записывается следующим образом:

lim f (х) = b 
х—>а               

(читается: предел f (х) при х, стремящемся к а, равен b).

Например,

Упражнения

Исходя из определения предела, доказать следующие соотношения (№ 1653— 1658)

1659. Почему при нахождении пределов некоторых дробей (см., например, упр. № 1655—1657) возможно сокращение этих дробей? Ведь то выражение, на которое мы сокращаем, может обратиться в нуль!

Используются технологии uCoz