|
|
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX § 214. Предел отношения sin x/ x при х —> 0 Докажем, что
Пусть х стремится к нулю, оставаясь при этом положительным. Тогда можно считать, что 0 < х < π/2 и потому, как было показано в § 213, sin х < х < tg х, причем все входящие в это неравенство выражения положительны. Рассмотрим три дроби: sin x/sin x , sin x/x и sin x/tg x. При одинаковых числителях меньше та дробь, знаменатель которой больше. Поэтому sin x/sin x > sin x/x > sin x/tg x или 1 > sin x/x > cos x Умножим это неравенство почленно на — 1. Знаки неравенства при этом изменятся на противоположные: — 1 < — sin x/x < — cos x Прибавив к каждой части этого неравенства 1, получим: 0 < 1 — sin x/x < 1 — cos x Но 1 — cos х < х (см. § 213). Поэтому 0 < 1 — sin x/x < x Tак как x > 0 и 1 — sin x/x > 0, то величины 1 — sin x/x и х в последнем неравенстве можно заменить их абсолютными значениями. В результате получим: | 1 — sin x/x | < | x | что можно, конечно, записать и в таком виде: | sin x/x — 1| < | x | (2) Неравенство (2) мы получили в предположении, что х > 0. Однако оно верно и при х < 0, так как функция sin x/x четна, и, следовательно, | sin ( — x)/( — x) — 1| = | sin x/x — 1| если х стремится к пулю, то, как видно из (2), | sin x/x — 1| , будучи меньше | x | , тем более будет стремиться к нулю. Как бы мало ни было положительное число ε, всегда можно добиться, чтобы выполнялось неравенство | sin x/x — 1| < ε Для этого х нужно выбирать в интервале ( — ε, ε). Но это и означает, что
Следствие. Поскольку при малых значениях х | sin x/x — 1| мало, Х I то можно написать приближенное равенство | sin x/x — 1| ≈ 0. Отсюда sin x/x ≈ 1 и, следовательно, sin х ≈ х. Итак, при малых значениях х sin х ≈ х. Это лишний раз подтверждает справедливость вывода, к которому мы пришли в § 113 главы V (часть I) при рассмотрении графика функции y =sin x при малых значениях x. Примеры: sin (0,01) ≈ 0,01, Сравните эти значения с теми, которые приведены и таблицах В. М. Брадиса. |
sin
x/ x = 1. (1)