ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 218. Закон движения. Мгновенная скорость движения

К более полной характеристике движения можно прийти следующим образом. Время движения тела  разобьем на несколько отдельных промежутков (t₁ , t₂), (t₂, t₃) и т. д. (не обязательно равных, см. рис. 309) и на каждом из них зададим среднюю скорость движения.

Рис. 309

Эти средние скорости, конечно, будут полнее характеризовать движение на всем участке, чем средняя скорость за все время движения. Однако и они не дадут ответа на такой, например, вопрос: в какой момент времени в интервале от t₁ до t₂ (рис. 309) поезд шел быстрее: в момент t'₁ или в момент t'₂?

Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем короче участки пути, на которых она определена. Поэтому один из возможных способов описания неравномерного движения состоит в задании средних скоростей этого движения на все более и более малых участках пути.

Предположим, что задана функция s (t), указывающая, какой путь проходит тело, двигаясь прямолинейно в одном и том же направлении, за время t от начала движения. Эта функция определяет закон движения тела. Например, равномерное движение происходит по закону

s (t) = vt,

где v — скорость движения ; свободное падение тел происходит по закону

где g — ускорение свободно падающего тела, и т. д.

Рассмотрим путь, пройденный телом, движущимся по некоторому закону s (t) , за время от t до t + τ.

К моменту времени t тело пройдет путь s (t), а к моменту времени t + τ — путь s (t + τ). Поэтому за время от t до t + τ оно пройдет путь, равный s (t + τ) — s (t).

Разделив этот путь на время движения τ, мы получим среднюю скорость движения за время от t до t + τ:

Предел этой скорости при τ —> 0 (если только он существует) называется мгновенной скоростью движения в момент времени t:

               (1)

Мгновенной скоростью движения в момент времени t называется предел средней скорости движения ва время от t до t + τ, когда τ стремится к нулю.

Рассмотрим два примера.

Пример  1.  Равномерное движение по прямой.

В этом случае s (t) = vt, где v — скорость движения. Найдем мгновенную скорость этого движения. Для этого предварительно нужно найтн среднюю скорость в интервале времени от t до t + τ. Но для равномерного движения средняя скорость на любом участке мути совпадает со скоростью движения v. Поэтому мгновенная скорость v (t) будет равна:

v (t) = v = v

Итак, для равномерного движения мгновенная скорость (как и средняя скорость на любом участке пути) совпадает со скоростью движения.

К такому же результату, конечно, можно было бы прийти и формально, исходя из равенства (1).

Действительно,

Пример 2. Равноускоренное движение с нулевой начальной скоростью и ускорением  а. В этом случае, как известно из физики, тело движется по закону

По формуле (1) получаем, что мгновенная скорость такого движения v (t) равна:

Итак, мгновенная скорость равноускоренного движения в момент времени t равна произведению ускорения на время t. В отличие от равномерного движения мгновенная скорость равномерно ускоренного движения меняется с течением времени.

Упражнения

1741.  Точка движется по закону   (s — путь в метрах, t — время в минутах). Найти мгновенную скорость этой точки:

а)  в начальный момент движения;

б)  в  момент  времени  t₀.

1742.  Найти мгновенную скорость точки, движущейся по закону s (t) = t ³    (s — путь в метрах, t — время в минутах):

а)  в  начальный  момент  движения;

б)  через 10 сек после начала движения;

в) в момент t = 5 мин;

1743.  Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону s (t) = √t, в произвольный момент времени t.

ОТВЕТЫ