ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X
§ 220. Дифференцируемые функции
Производная функции у = f (х) в точке х определяется как предел
Но пределы существуют не всегда. Точно так же не всегда существуют и производные. В качестве примера рассмотрим следующую функцию:
f (х) = | x |
Покажем, что производная f '(0) от этой функции при х = 0 не определена. Действительно, по определению производной
(1)
Если Δx стремится к нулю, оставаясь положительным, то |Δx| = Δx и тогда
Если же Δx стремится к нулю, оставаясь отрицательным, то |Δx| = — Δx и тогда
Если бы предел в формуле (1) существовал, то он не зависел бы от того, как Δx стремится к нулю. На самом же деле это не так. Но отсюда можно сделать лишь тот вывод, что предел в (1) не существует.
Итак, для функции f (х) = | x | производная в точке х = 0 не определена. Легко показать, что во всех остальных точках производная функции f (х) = | x | существует и равна
Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.
Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х = а, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то говорят, что она дифференцируема в этом интервале. Например, функция у = | х | дифференцируема в каждом интервале, не содержащем точки х = 0; функция у = х дифференцируема всюду.
(Можно доказать, что функция, разрывная в точке х = а (см. гл. IX, §212), не является дифференцируемой в этой точке. Таким образом, дифференцируемыми могут быть только непрерывные функции. Однако не следует думать, что любая непрерывная в точке х = а функция является дифференцируемой в этой точке. Например, функция у = | х | непрерывна в точке х = 0, но, как показано выше, не дифференцируема в этой точке. Существуют и более убедительные примеры: функция может быть всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако рассмотрение таких функций выходит далено за пределы нашей программы.)
Упражнение
1747. Являются ли функции f (х) = | x |2 и f (х) = | x |3 дифференцируемыми в точке х = 0?
ОТВЕТ
Обе функции дифференцируемы в точке х = 0
|