ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 221. Касательная к кривой.

До сих пор мы имели дело лишь с касательной к окружности. Касательной к окружности в заданной точке М мы называли прямую, имеющую с окружностью одну и только одну общую точку—точку М. Такое определение годится не для всякой кривой. Например, естественно считать, что прямая АВ касается кривой MNP в точке М (рис. 310), хотя имеет с этой кривой не одну, а две общие точки: М и Р.

Прямая CD, наоборот, имеет лишь, одну общую точку с кривой MNP—точку N. Однако считать ее касательной к кривой MNP в точке N было бы   совсем   не  естественно.

Чтобы определить касательную к произвольной кривой в точке М (рис. 311), возьмем на этой кривой еще одну точку М₁ и проведем     секущую     ММ₁  .  

Если    точку M₁ перемещать по данной кривой, неограниченно приближая ее к точке М, то секущая будет все время поворачиваться вокруг точки М, занимая последовательно положения ММ₁, ММ₂, ММ₃ и т. д. Предельное положение MN секущей и даст нам касательную к кривой в точке М.

Касательной к кривой в точке М называется предельное положение секущей MM₁ когда точка M₁ двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

Нетрудно понять, что для окружности это определение эквивалентно тому, которым мы пользовались до сих пор в геометрии (см. рис. 312).

Точка М₁ двигаясь по кривой, может неограниченно приближаться к точке М с разных сторон. Например, на рисунке 313 точка М' приближается к М не сверху, как на рисунке 311, а снизу. В этом случае мы имеем дело с другими секущими: ММ', ММ", ММ'" и т. д., но их предельное положение то же самое —MN.

Однако не исключена и такая возможность (см. рис. 314): в результате приближения точки M₁ к точке М  с п р а в а  секущие ММ₁, ММ₂, ММ₃,... стремятся занять одно предельное положение — MN, а в результате приближения точки М' кточке М слева секущие ММ', ММ", ММ'",... стремятся занять другое предельное положение — МР. В подобных случаях говорят, что кривая не имеет касательной в данной точке.

Упражнения

1748.   Что является касательной к прямой в произвольной ее точке?

1749.   Имеет ли график функции у = | х | касательную в точке  с  абсциссой

а) —1;                б) 0;              в) 1?

1750.  Существует ли касательная к графику функции у = |sin х| в точке х = π?

1751.   Хорошо  известно,   как  определяется  угол между двумя прямыми.   А как бы вы определили угол между двумя пересекающимися кривыми точке их пересечения (см. рис. 315)?

ОТВЕТЫ