ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X
§ 222. Геометрическое истолкование производной
Пусть кривая KL, представленная на рисунке 316, есть график функции у = f (х).
Отметим на ней две точки:
М с координатами (х, у) и М1 с координатами (х + Δх, у + Δу). Проведем отрезок МР параллельно оси абсцисс. В треугольнике ММ1Р МР = Δх, М1Р=Δу. Поэтому отношение Δy/Δx равно тангенсу угла α, образованного секущей ММ1 с осью абсцисс.
При Δх —> 0 точка М остается неподвижной, а М1 неограниченно приближается вдоль кривой, к точке М. Секущая ММ1 все это время меняет свое направление. Вместе с этим изменяется и угол α. При этом
Δy/Δx= tg α.
В пределе хорда ММ1 займет положение касательной MN, образуя с осью абсцисс некоторый угол β. Очевидно, что при этом β = α, и
tg β = tg α
Но
tg α = Δy/Δx
Следовательно,
tg β = Δy/Δx= y'.
Таким образом, производная функции f (x) в точке х равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х.
Полученное соотношение между значением производной от функции f (x) в произвольной точке х и угловым коэффициентом касательной к кривой у = f (x) в этой точке позволяет довольно просто составить уравнение касательной. Поясним это на следующем примере.
|
Пусть требуется найти уравнение касательной к параболе у = х2 в точке М с абсциссой х = 2 (рис. 317).
Искомая касательная имеет уравнение у = kx + b. Угловой коэффициент k равен значению производной от функции у = х2 в точке х = 2. Так как у = х2, то у' = 2х. Поэтому k = 4. Следовательно, касательная имеет уравнение у = 4х + b. Неизвестный коэффициент b можно найти из условия, что касательная проходит через точку М параболы у = х2 с абсциссой х = 2 (то есть через точку касания). Ордината этой точки равна 4. Подставляя в уравнение у = 4х + b х =2, у = 4, получаем 4=8+ b, откуда b = — 4. Итак, искомая касательная имеет уравнение у = 4х — 4.
|
Упражнения
1752. Написать уравнение касательной к параболе у = х2 в точке с абсциссой:
а) — 1; б) 0; в) + 1.
1753. Под каким углом прямая х = 3 пересекается с параболой у = х2 ?
1754. В каких точках прямая у = х пересекается с параболой у = х2 ? Какие углы образуются в результате пересечения?
ОТВЕТЫ
|