ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 222. Геометрическое   истолкование   производной

Пусть кривая KL, представленная на рисунке 316, есть график функции у = f (х).

Отметим на ней две точки:

М с координатами (х, у) и М1 с координатами (х + Δх, у + Δу). Проведем отрезок МР параллельно оси абсцисс. В треугольнике ММ1Р   МР = Δх, М1Р=Δу. Поэтому отношение  Δy/Δx равно тангенсу угла α, образованного секущей ММ1 с осью абсцисс.

При Δх —> 0 точка М остается неподвижной, а М1 неограниченно приближается вдоль кривой, к точке М. Секущая ММ1 все это время меняет свое направление. Вместе с этим изменяется и угол α. При    этом

Δy/Δx= tg α.

В пределе хорда ММ1 займет положение касательной MN,   образуя с   осью абсцисс некоторый угол β.  Очевидно, что при этом  β =  α,  и

tg β =  tg α

Но

tg α  = Δy/Δx

Следовательно,

tg β = Δy/Δx=  y'.

Таким образом, производная функции f (x) в точке х равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х.

Полученное соотношение между значением производной от функции f (x) в произвольной точке х и угловым коэффициентом касательной к кривой у = f (x) в этой точке позволяет довольно просто составить уравнение касательной. Поясним это на следующем примере.

Пусть требуется найти уравнение касательной к параболе у = х2 в точке М с абсциссой х = 2 (рис. 317).

Искомая касательная имеет уравнение у = kx + b. Угловой коэффициент k равен значению производной от функции у = х2 в точке х = 2. Так как у = х2, то у' = 2х. Поэтому k = 4. Следовательно, касательная имеет уравнение у = 4х + b. Неизвестный   коэффициент   b  можно   найти   из условия, что касательная проходит через точку М параболы у = х2 с абсциссой х = 2 (то есть через точку  касания). Ордината этой точки равна 4. Подставляя в уравнение у = 4х + b   х =2, у = 4, получаем 4=8+ b, откуда b = — 4. Итак, искомая касательная имеет уравнение у = 4х — 4.

 

Упражнения

1752.   Написать уравнение касательной  к параболе у = х2   в точке с абсциссой:

а) — 1;                         б) 0;              в) + 1.

1753.  Под каким  углом прямая х = 3 пересекается с параболой у = х2 ?

1754.  В каких точках прямая у = х пересекается с параболой у = х2 ? Какие углы образуются в результате пересечения?

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz