ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 225. Дифференцирование произведения двух функций

Пусть  функция  w (х)   равна  произведению двух функций  и (х)  и   v (х):

w (х) = и (х)  • v (х).

То же самое мы будем записывать кероче:

w = и • v.

Предположим, что функции и и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем:              .

Δw  = w (x + Δ x) — w (x) = и  (x + Δ x) v (x + Δ x) — и (x) v (x).

Но

и (x + Δ x) — и (x) = Δи,

v (x + Δ x)— v (x) = Δv.

Отсюда

и (x + Δ x) = и + Δи,

v (x + Δ x) = v + Δv.

Следовательно,

Δw  = (и + Δи) (v + Δv) — uv = и • v + и • Δv + Δи • v + Δи • Δv — uv =

= и Δv + Δи v + Δи Δv.

Поэтому

^Δw/_Δx  = и ^Δv/_Δx + v ^Δu/_Δx+ ^Δu/_Δx Δv

При Δx  —> 0 получаем:

u  —> u

v  —> v

^Δu/_Δx  —> u'

^Δv/_Δx  —> v'

Покажем, что при Δx  —> 0  Δv также стремится к нулю. Действительно,

Δv = ^Δv/_Δx  • Δx  = v' • 0 = 0.

Таким образом,

 ^Δw/_Δx = uv' + u'v + и' • 0 = uv' + u'v.

Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна:

(uv)' = uv' + u'v.

Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции.

Примеры.

1)  Найти производную функции у = (х + а) (х + b).  

По правилу дифференцирования произведения

у' = (х + а)' (х + b) + (х + а) (х + b)' = 1 • (х + b) + (х + а) • 1 =  2х+ а+ b.

2)  Найти производную функции у = (х + 1) (x² — 3).

Имеем:

у' = (х + 1)' (x² — 3) + (х + 1)' (x² — 3)' = (1 + 0) (x²  — 3) + (х + 1) (2х + 0) =
=3x² + 2x — 3.

Упражнения

Найти производные следующих функций (№ 1763—1771):

1763.  у = (x² + 1) (3 — 5x² ).                              1768.  у = x² (1 —  x² ).  

1764. у = 5x² (х — x² ).                                        1769. у = (2x — 3)².

1765. у = (x² + х + 1) (x² —  х + 1).                    1770.  у = (x² + аx)². <

1766. у = (1 — 3x + 7x² ) (— 5x² — 1).              1771. у = (x³ — а) (x³ + b).

1767. у =  x⁴.

1772.  Показать, что теорема о вынесении постоянного множителя за знак производной (§ 223) является частным случаем теоремы о   дифференцировании произведения.

1773.  Доказать тождество

(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.

Используя его, найти производную функции у = (х + а)(х + b)(х + c)

ОТВЕТЫ