ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 228. Производная многочлена

Многочлен степени п имеет вид:

Р_п(х) = а₀ х^п + а₁ х^{п— 1} + а₂ х^{п— 2} + ... + а_{п— 1} х  + а_п,

где а_п — свободный член, a   а₀ , а₁, ..., а_{п— 1} — коэффициенты при х^п, х ^{п— 1}, ..., х (соответственно), причем а₀ =/= 0. Такое выражение можно рассматривать как сумму (n+ 1) функций: а₀ х^п, а₁ х^{п— 1}, а₂ х^{п— 2}, ... , а_{п— 1} х, а_п. Поэтому производная многочлена равна сумме производных этих функций:

Р'_п(х) = (а₀ х^п)' + (а₁ х^{п— 1})' + (а₂ х^{п— 2})' + ... + (а_{п— 1} х )' + (а_п)'.

Производная от а_п , как производная от константы, равна нулю. Остальные производные легко найти, используя то, что постоянный множитель можно выносить за знак производной и при любом натуральном k    (х^k)' = k х^{k— 1}. Таким образом, получаем:

 (а₀ х^п)'  = а₀(х^п)' = а₀ n х^{п— 1} ;

(а₁ х^{п— 1})' = а₁ (х^{п— 1})' = а₁ (n — 1) х^{п— 2};

...........................................................................

(а_{п— 1} х )' = а_{п— 1} (х)' = а_{п— 1}

(а_п)' = 0.

Отсюда

(а₀ х^п + а₁ х^{п— 1} + а₂ х^{п— 2} + ... + а_{п— 1} х  + а_п)' =

= а₀ n х^{п— 1} + а₁ (n — 1) х^{п— 2} + ... + а_{п— 1}.

Примеры.

1)  (3x² — 5x— 7)' = 3 • 2х — 5 = 6х — 5;

2)  (10x⁶ — 4x³ + х)' = 10 • 6x⁵ — 4 • 3x² + 1 = 60x⁵ — 12x² + 1.

Упражнения

Найти производные следующих функций:

1790.  у = 2x⁵ — х.                                       1794.  у = (x³—1 — 2x) (x²—5).

1791.  у = 3x⁷— 6x⁶ — 4x³ + 5x² + 17.       1795.  у = (x⁷ + x)².

1792.  у = — x³ — 3x² + 6х — 100.            1796.  у = (2х — 6x⁵)³.

ОТВЕТЫ