ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 229. Дифференцирование тригонометрических функций

Теорема   1.   Производная синуса равна косинусу:

(sin x)'= cos x.

Доказательство. Пусть аргумент х получил приращение Δх. Тогда функция у = sin х получит приращение

Δy = sin (х + Δх) — sin x.

Преобразуем это выражение, используя формулу для синуса суммы двух углов:

Δy = sin х • cos (Δх) + cos х • sin (Δх) — sin x =  cos х • sin (Δх) — sin x (1 — cos Δх).

Учитывая, что   1 — cos Δх = 2 sin² ( ^{Δ x}/₂ ), получаем:

Δy = cos x sin Δх — 2 sin x sin² ( ^{Δ x}/₂ ).

Отсюда

^Δy/_Δx = cos х •  ^{sin Δx}/_{Δ x} — 2 sin x •             (1)

Мы знаем (гл. IX, § 214),   что     ^{sin Δx}/_{Δ x} = 1.   Исходя   из   этого,   найдем предел выражения  .   Обозначим ^{Δ x}/₂   через   z.    Тогда    Δх = 2z   и потому

  =

Следовательно,

 =  = ¹/₂  ^{sin z}/_z •  sin z = ¹/₂ • 1• 0 = 0.

Теперь из (1) получаем:

(sin x)' = ^Δy/_Δx = cos х •  ^{sin Δx}/_{Δ x} — 2 sin x   =

= cos х • 1 — 2 sin х • 0 = cos x.

Теорема доказана.

Теорема   2.   Производная косинуса равна синусу, взятому с противоположным знаком:

(cos х)' = — sin х.

Доказательство.  Пусть аргумент х получил приращение Δх. Тогда функция у = cos х получит приращение

Δy = cos (х + Δх) — cos х.

Преобразуем  это  выражение,   используя  формулу  для   косинуса  суммы  двух углов:

Δy = cos (х + Δх) — cos x = cos x  • cos Δх — sin x  sin Δх — cos x  =

= — sin x  sin Δх — cos x (1 — cos Δх) = — sin x  sin Δх — 2 cos x sin² ( ^{Δ x}/₂ ).

Отсюда

^Δy/_Δx = — sin x ^{sin Δx}/_{Δ x} — 2 cos x   

но

  ^{sin Δx}/_{Δ x} = 1 ,      a           = 0

Поэтому

(cos x)' = ^Δy/_Δx =  — sin x • 1 — 2 cos x • 0 = — sin x.

Теорема   доказана.

Примеры.

1)  Найти  производную функции у = a sin x + b cos x.

Имеем:

y' = (a sin x + b cos x)'= а (sin x)' + b (cos x)' = a cos x — b sin x.

2)  Найти производную функции  у = x sin x.

По правилу дифференцирования произведения двух функций получаем!

y' = (x sin x)' = x' sin x + x (sin x)' = sin x + x cos x.

Используя  правило  дифференцирования  дроби,  легко  найти   производные функций tg х при х =/= ^π/₂ + пπ   и   ctg х при х =/=  пπ.

Действительно,

Упражнения

1797.  Написать уравнение касательной к синусоиде  у = sin x в точке с абсциссой:

а) х = 0;        б) х = ^π/₂;        в) х =  ³/₂ π;        г)  х = ^π/₄;       д) х = π.

1798.   Написать уравнение касательной к косинусоиде   у = cos x в точке а абсциссой:

а) х = 0;        б) х = ^π/₂;        в) х =  ³/₂ π;        г)  х = ^π/₄;       д) х = π.

Найти производные следующих функций:

1799.  у = 3 sin х + 2 cos х.                   1805. у = sin х • cos х.

1800.  у = 4 sin х — 5 cos х.                 1806. у = х² sin  х.

1801. у = — sin х + 7 cos х.                  1807. у = х² cos х.

1802. у = — 6 sin х — 9 cos х.             1808* у = cos^{2 x}/₂ .

1803. у = sin² х.                                     1809. у = (5х + sin х) (х² — cos х).

1804. у = cos² х.                                    1810. у = (1 — 2 sin х) (1 — 3 cos х).

1811.  у = sin 2х.

1812.  у = cos 2х.                                             1817. у =  ^{3cos х}/ _√x

1813. у =  (a + bх) sin х + (c + dх) cos х.

1814. у = ^{sin x}/ _x  .                                           1818. у = sin (х + ^π/₄) .

1815. у = sin² х + cos² х.

1816. у = √x  sin х                                          1819. у = cos (х — ^π/₃).

ОТВЕТЫ