|
|
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X § 230. Дифференцирование функции f (ах + b) В математике часто приходится иметь дело с выражениями вида f (ах + b), где f (х) — некоторая заданная функция. Так, при изучении гармонических колебаний рассматриваются функции типа sin (ωх + φ). При решении различных задач часто встречаются выражения вида lg (ах + b), (х + а)n и т. д. Большой интерес представляет вопрос о дифференцировании подобных функций. Пусть f (х) — некоторая функция, для которой мы можем найти производную. Как в таком случае найти производную функции φ (х), которая выражается через f (х) следующим образом: φ (х) = f (ах + b)?
Поэтому φ' (х) = а f '(у). Вспоминая, что у =ах + b, получаем окончательно φ' (х) = а f '(ах + b). Итак, [f (ах + b)]' = а f '(ах + b). (1) Число а есть производная функции ах + b. Поэтому равенство (1) можно сформулировать таким образом. Для нахождения производной выражения f (ах + b) достаточно продифференцировать его по правилу дифференцирования выражение f (х) (с заменой в окончательном выражении х на ах + b) и результат умножить на производную выражения ах + b (то есть на число а). Примеры. 1) [ (2х + 1)10]' = 10 (2х + 1)9 • (2х + 1)' = 10 (2х + 1)9 • 2 =20 (2х + 1)9; 2) (sin 3x)' = cos 3x • (3x)' = 3 cos 3x; 3) [cos (π/3 — x/2)]' = — sin (π/3 — x/2) • (π/3 — x/2)' = = — sin (π/3 — x/2) (— 1/2) = 1/2 (π/3 — x/2)
Упражнения Найти производные следующих функций (№ 1820—1834): 1820. у = (2х + 3)5. . 1828. у = A sin (ωх + φ). 1821. у = (х+ 7)6. 1829. у = A cos (φ — ωх). 1822. у = (1 — 5х)7. 1830. у = 3х sin 2х. 1823. у = sin 4х. 1831. у = 3 (х —5)3 + 2 (1—х)4. 1824. у = sin x/5. 1832. у = 3х sin 2х + 2х cos 3х. 1825. у = cos 6х. 1833. у = √2х + 1. 1826. у = sin (2х — 3). 1834. у = 3√1— х 1827. у = cos (π/4 — х). 1835. Доказать, что
ОТВЕТЫ
|
