ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X
§ 232. Выражение коэффициентов многочлена через значения его производных
Пусть
Р (х) = а0 + а1х + а2х2 + а3х3 + а4х4 + ... + апхn. (1)
Тогда
Р' (х) = 1 • а1 + 2а2х + 3а3х2 + 4а4х3 + ... + папх п— 1, (2)
Р" (х) = 2 • 1 • а2 + 3 • 2а3х + 4 • 3а4х2+ ... + п (п—1) апх п— 2 (3)
Р"' (х) = 3 • 2 • 1 • а3+ 4 • 3 • 2а4х +... + п (п—1)(п—2) апх п— 3 (4)
и т. д. Полагая в формулах (1), (2), (3) и (4) х = 0, получаем:
Р (0) = а0
Р' (0) = 1 • а1
Р"(0)= 1 • 2а2
Р'" (0) = 1 • 2 • 3а3
откуда
Продолжая этот процесс дальше, мы получили бы:
и т. д. Очевидно, что для любого натурального k
(5)
где Рk(0) — значение k-й производной многочлена Р (x) при х = 0.
Произведение 1 • 2 • 3 • ... • k принято обозначать символом k! (читается: ка факториал). Поэтому формулу (5) можно переписать в виде:
(6)
Эта формула будет верна и при k = 0, если под выражением Р0 (х) (нулевой производной функции Р (х)) подразумевать просто функцию Р(х) и считать, что 0! = 1.
Формула (6) выражает коэффициент многочлена Р (х) при хk через значение k-й производной этого многочлена в нуле.
Поясним эту формулу на некоторых примерах.
Пример 1. Найти коэффициент многочлена (х + 1)10 при х3.
Имеем:
Р(х) = (х + 1)10;
Р' (х) = 10 (х + 1)9;
Р" (х) = 10 • 9 (х + 1)8;
Р'" (х) = 10 • 9 • 8 (х + 1)7.
Поэтому Р'''(0) = 10 • 9 • 8 • 17 = 720. По формуле (6) получаем:
Итак, коэффициент многочлена (х + 1)10 при х3 равен 120.
Пример 2. Найти коэффициент многочлена (3х — 1)9 при х2. Имеем:
Р(х) = (3х — 1)9 ;
Р' (х) = 9 (3х — 1)8 • 3 = 27 (3х — 1)8;
Р" (х) = 27 • 8 (3х — 1)7 • 3 = 648 (3х — 1)7.
Поэтому искомый коэффициент равен:
Упражнения
В задачах № 1847—1851 найти коэффициенты данных многочленов при указанных степенях х.
1847. Р(х) = (х + 2)10 при х3. 1850. Р(х) = (х + а)9 при х4.
1848. Р(х) = (1 — х )40 при х2. 1851. Р(х) = (х + 1)n при х5.
1849. Р(х) = (2 — х)25 при х3.
1852. Определить степень многочлена Р(х) = (х + 2)n , если его коэффициент при х2 равен 24.
ОТВЕТЫ
|