ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 232. Выражение коэффициентов многочлена через значения его производных

Пусть

Р (х) = а0 + а1х + а2х2 + а3х3 + а4х4 + ... + апхn.                      (1)

Тогда

Р' (х) = 1 • а1 + 2а2х + 3а3х2 + 4а4х3 + ... + папх п— 1,             (2)

Р" (х) = 2 • 1 • а2 + 3 • 2а3х + 4 • 3а4х2+ ... + п (п—1) апх п— 2        (3)

Р"' (х) = 3 • 2 • 1 • а3+ 4 • 3 • 2а4х   +... + п (п—1)(п—2) апх п— 3     (4)

и т. д. Полагая в формулах (1), (2), (3) и (4) х = 0, получаем:

Р   (0) = а0

Р' (0) = 1 • а1

Р"(0)= 1 • 2а2

Р'" (0) = 1 • 2 • 3а3

откуда

Продолжая этот процесс дальше, мы получили бы:

и т. д. Очевидно, что для любого натурального k

            (5)

где Рk(0) — значение k-й производной многочлена Р (x) при х = 0.

Произведение 1 • 2 • 3 • ... • k принято обозначать символом k! (читается: ка факториал). Поэтому формулу (5) можно переписать в виде:

             (6)

Эта формула будет верна и при k = 0, если под выражением Р0 (х) (нулевой производной функции Р (х)) подразумевать просто функцию Р(х) и считать, что 0! = 1.

Формула (6) выражает коэффициент многочлена Р (х) при  хk через значение k-й производной этого многочлена в нуле.

Поясним эту формулу на некоторых примерах.

Пример   1.   Найти коэффициент многочлена (х + 1)10 при  х3.

Имеем:

Р(х) = (х + 1)10;

Р' (х) = 10 (х + 1)9;

Р" (х) = 10 • 9 (х + 1)8;

Р'" (х) = 10 • 9 • 8 (х + 1)7.

Поэтому Р'''(0) = 10 • 9 • 8 • 17 = 720. По формуле (6) получаем:

Итак, коэффициент многочлена (х + 1)10 при х3 равен 120.

Пример   2.   Найти коэффициент многочлена (3х — 1)9   при х2. Имеем:

Р(х) = (3х — 1)9 ;

Р' (х)  = 9 (3х — 1)8  • 3 =  27 (3х — 1)8;

Р" (х) = 27 • 8 (3х — 1)7 • 3 = 648 (3х — 1)7.

Поэтому искомый коэффициент равен:

Упражнения

В   задачах  № 1847—1851   найти   коэффициенты  данных  многочленов  при указанных степенях х.

1847.   Р(х) = (х + 2)10 при х3.                         1850. Р(х) = (х + а)9 при х4.

1848.  Р(х) = (1 — х )40 при х2.                        1851. Р(х) = (х + 1)n при х5.

1849.  Р(х) = (2 — х)25 при х3.

1852. Определить степень многочлена  Р(х) = (х + 2)n , если его коэффициент при х2 равен 24.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz