ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 233. Формула бинома Ньютона

До сих пор нам были известны формулы для второй и третьей степени двучлена a+b:

(a+b)2 = а2 + 2аb + b2,

(a+b)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3.

В этом параграфе мы получим формулу для степени (а + b)n с произвольным натуральным показателем п. Для этого рассмотрим многочлен степени п

Р (х) = (х + а)n,

где а — некоторое заданное число.

Свободный член этого многочлена равен Р (0) = аn. Для нахождения коэффициентов при степенях х воспользуемся формулой (6) предыдущего параграфа.

Согласно этой формуле коэффициент при xk равен , где Рk (0)—значение k-й производной многочлена Р (х) при х = 0. Найдем это значение. Имеем:

Р (х) =(х+ а)n;

Р' (х) = п (х + а)п— 1;

Р" (х) = п (п — 1) (х + а)п— 2;

Р'" (x) =  п (п — 1) (п — 2) (х + а)п— 3

и т. д. Очевидно, что k-я производная многочлена Р (х) равна:

Рk (х) = п (п — 1) (п — 2) ... (пk + 1) (х + а)пk.

Поэтому

Рk (0) = п (п — 1) (п — 2) ... (пk + 1) апk.

Следовательно, коэффициент многочлена Р (х) при xk равен:

принято обозначать Cnk (читается: це из эн по ка). Поэтому коэффициент многочлена Р (х) при xk равен Cnk апk. Например, коэффициент при х равен Cn1 ап— 1, коэффициент при x2 равен Cn2 ап— 2 и т. д. Но в таком случае данный многочлен можно представить в виде:

(х + а)n = ап + Cn1 ап— 1 х + Cn2 ап— 2 x2 + ... + Cnп— 1 ахп— 1 + Cnп хп.

Полагая в этой формуле х = b, получим:

(a + b)n = ап + Cn1 ап— 1 b + Cn2 ап— 2 b2 + ... + Cnп— 1 аbп— 1 + Cnп bп      (1)

Отметим, что (k + 1)-е по счету слагаемое в разложении (a + b)n имеет вид:

Cnkапk bk        (0 < kп).

Формула (1) называется формулой бинома* Ньютона, а коэффициенты 1, Cn1, Cn2 , ... , Cnп— 1 , Cnп, участвуют в ней, — биномиальными коэффициентами.

 

* Формула (1) была строго доказана еще до Ньютона Якобом Бернулли (1654—1705)—одним из членов семьи швейцарских ученых, давшей миру 11 видных математиков. Ньютону принадлежит идея о распространении формулы (1) на случай дробных и отрицательных значений n. Эта идея широко используется при решении многих задач высшей математики.

Пример.

(a+b)4  = а4 + C41 а3b + C42 а2b2 + C43аb3 + C44b4.

Но

Поэтому

(a+b)4 = а4 + 4 а3b + 6 а2b2 + 4 аb3 +  b4.

Упражнения

1853.   Вычислить:

а)   C52;    б) C63;        в) C83;        г) C76;        д) C104;        e) C65

1854.  Исходя из формулы бинома Ньютона, тюлучить формулы для кубов суммы и разности двух чисел.

1855.   Вычислить по формуле бинома Ньютона:

а) (√5 — √2 )4;    б) (√6 + √2 )4; в) (√6 — √2)5;   г) (√10 — √2)5.

1856.  Определить степень бинома (3а — 2)п, если известно, что коэффициент при а2 в разложении этого бинома равен 216.

1857.  Доказать равенства:

а) Cnп— 1  = Cn1n ;        б)  Cnп— 2  = Cn2

1858.  Доказать тождество:

1859*. Доказать, что число 1110 — 1 делится на 100.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz