ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 234. Об одном свойстве биномиальных коэффициентов

По определению

        (1)

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на

(n — k) (п — k— 1)  ... 3 • 2 • 1,

получим:

Таким образом,

             (2)

Эта формула справедлива для любых натуральных чисел п и k, если только п > k. В частности, заменяя в ней  k  на n — k, получаем:

          (3)

Правые части равенств (2) и (3) равны; значит, равны и левые части:

C_n^k = C_n^n—k                  (4)

Формула   (4),   выражая   важное  свойство   биномиальных   коэффициентов, значительно  упрощает  их   вычисление.   Например,   при  возведении  двучлена а + b в 6-ю степень приходится вычислять C₆¹, C₆², C₆³, C₆⁴, C₆⁵, C₆⁶. По определению (см. формулу (1)):

Для вычисления C₆⁴ и C₆⁵ теперь нет необходимости представлять их по формуле (1). Достаточно воспользоваться формулой (4) и уже полученными значениями:

C₆⁴ = C₆^{6 — 4} = C₆² =15.

C₆⁵ = C₆^{6 — 5} = C₆¹ = 6.

Отметим еще, что C_n^п= 1. Это   вытекает непосредственно из определения числа C_n^п

Условимся считать, что C_n⁰= 1. В результате такого соглашения формула (4) оказывается верной не только для п > k, но и для п = k:

Упражнения

1860.  Вычислить:

a) C₁₀⁸        б) C₁₅¹²         в) C₁₀₀⁹⁶        г) C₃₆³⁴

1861,  Известно, что C_n^x = C_n^y. Можно ли утверждать, что х = у?

1162. Решить уравнения:

а)    C_x^{x— 2} + 2x =9;            в) C_n^{n— 2}  = C_n³

б)    C_x—1^{x— 2} = x² — 13;

1863. В разложении   ( a + ¹/_a )¹²   найти коэффициент при а⁸.

1864. В разложении    ( 2a — ¹/_3a )¹⁰      найти коэффициент при а⁴.

ОТВЕТЫ