ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 235. Применение формулы бинома Ньютона к приближенным  вычислениям

Положив в формуле бинома Ньютона

(a + b)ⁿ = а^п + C_n¹ а^{п— 1} b + C_n² а^{п— 2} b² + ... + C_n^{п— 1} аb^{п— 1} + C_n^п b^п 

а = 1, b = х, получим:

(1 + х)ⁿ = 1 + C_n¹ х + C_n² х² + ... + C_n^{п— 1} х ^{п— 1} + C_n^п х^п .

Если величина х мала, то величины х², х³, ..., х^п тем более малы. Поэтому если в формуле (1) отбросить члены, содержащие х², х³, ..., х^п, то полученная в результате формула

(1 + х)ⁿ ≈  1 + C_n¹ х                               (2)

будет приближенной, причем ошибка такого приближения должна быть небольшой.   Поскольку  C_n¹ = п, формулу (2) можно переписать в виде:

(1 + х)ⁿ ≈  1 + n х                                      (3)

Практически при малых значениях х формула (3) дает вполне удовлетворительный результат. В подтверждение этого приведем следующую таблицу для случая х = 0,01.

Формула  (3)   верна  и для  малых  отрицательных   значений х. Например,

(1 — 0,02)⁵ ≈ 1 — 5 • 0,02 = 0,9;

(0,93)² = (1 — 0,07)² ≈ 1 — 2 • 0,07 = 0,86.

Формулу (3) мы получили для натуральных значений п. На самом же деле ею можно пользоваться при любых действительных значениях п. Например,

√1,003 =(1 +0,003)^½ ≈ 1 + ¹/₂ • 0,003= 1,0015;

³√0,97 = (1 — 0,03)^1/3 ≈ 1— ¹/₃ • 0,03 = 0,99;

¹/_0,98 = 0,98^{— 1} =(1 — 0,02)^{— 1} ≈ 1 + (—1)(—0,02) = 1,02;

ОТВЕТЫ