ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

§ 240. Применение производной к графическому   решению    уравнений

Вопрос о применении производной к графическому решению уравнений мы рассмотрим на примере уравнения sin x = х.

Для решения этого уравнения на одном и том же чертеже построим графики функций  у = sin х и у = х (рис. 325).

Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х = 0. Поэтому х = 0 есть корень данного уравнения. Можем ли мы быть уверены, что других корней этого уравнения не существует? Может быть, вблизи точки х = 0 имеется еще какая-нибудь точка пересечения графиков, которую мы просто не замечаем? Ведь нельзя же, например, при выбранномна рисунке 325 масштабе «графически» убедиться, что 0,01 не корень уравнения sin x = х. К тому же, если мы заглянем в тригонометрические таблицы, то обнаружим, что sin 0,01 ≈ 0,01; sin 0,02 ≈ 0,02, sin 0,03 ≈ 0,03 ... . Так что пока у нас нет оснований считать, что х = 0 — единственный корень уравнения sin x = х.

Чтобы разобраться в данном вопросе, заметим, что (sin x)' = cos x, а (х)'=1. Для   любого   острого угла    х    cos x < 1.

Поэтому на  участке 0 < х < ^π/₂ скорость изменения функции у = х больше скорости изменения функции у = sin x. Но в таком случае при 0 < х < ^π/₂  функция у = х будет всегда «опережать» функцию  у = sin x.

Следовательно, никакое число  из интервала 0 < х < ^π/₂ не может служить корнем уравнения sin x = х. Тем более не может быть корнем уравнения и х > ^π/₂, поскольку sin х < 1.  Таким образом, данное уравнение не имеет положительных  корней.

Если бы существовал отрицательный корень этого уравнения — а, то мы имели бы sin (— а) = — а, откуда sin a = а. Но это означало бы, что уравнение sin х = х имеет положительный корень х = а.

Получено противоречие. Значит, уравнение sin х = х не может иметь отрицательных корней. Остается признать, что число х = 0 является единственным корнем этого уравнения.

Упражнения

1931.Доказать, что единственным корнем уравнения cos х = ^π/₂ — х является х = ^π/₂ .

Решить графически уравнения:

1932.  sin х = — х — π.                            1933.  cos х = х — ³/₂ π.