ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ  X

Задачи на повторение

1934. Найти значения производной от функции у = ¹/₄ x⁴ — 4x³ + 16 в точках х = 0 и    x = 2.

1935. Найти значения производной от функции у = (3x + 5) (2x² — 1) в точках x = — 1 и x = 0.

1936. Найти значения второй производной от функции у = 5 sin х — 3 cos x  в точках   х = ^π/₃  и  х = — ^π/₂.

1937.  Точка движется по закону s (t) = t ³ (s — путь в метрах, t — время в секундах). В какой момент времени ее мгновенная скорость равна   средней скорости движения в интервале от t₁ = 13 сек до t₂ = 46 сек ?

1938.  Точка движется по закону s (t)  = 15 — (5 — t) (3 — t) до тех  пор, пока ее скорость не обратится в нуль. Какой путь пройдет при этом точка?

1939.  Одна точка движется по закону    s₁(t)  = 13t + t²,   а другая — по закону  
s₂(t)  = 3t²  + t, где s₁ и s₂ — длины путей в метрах, t — время в секундах. Найти скорости движения точек в тот момент, когда пути их равны.

1940.  Найти уравнение касательной  к кривой  у = 3х³ + 2х + 5 в точке пересечения этой кривой с осью ординат.

1941.  Найти уравнение касательной к кривой у = 8x³ — 1 в точке пересечения этой кривой с осью абсцисс.

1942.   Какой угол образуется при пересечении  прямой  х = ⁵/₄ π     с    синусоидой      у = sin х?

1943.Какие углы образуются при пересечении прямой у = ¹/₂ с косинусоидой у = cos х?

1944.  Найти координаты вершин парабол:

а) у = 3х² — 6х + 7;                      б) у = 2х² + 8х — 3.

1945.  В разложении   ( ^x/₃ — ³/_x )¹²    найти тот член, который содержит х⁴

1946.  Доказать    тождество    1 + C_п¹ + C_п² + ... + C_пⁿ = 2ⁿ.     (Указание.   В формуле бинома Ньютона положить а = b = 1.)

1947.  Сколько рациональных членов содержит разложение (√2+ √3)¹⁰⁰?

Исследовать функции и построить их графики (№ 1948—1955):

1948. у = ¹/₁₆ х⁴ — ⁵/₂ х² + 9.               1952. у = sin^{2 x}/₂ .

1949.  у = 2х² — х⁴ — 1.                     1953*. у = 0,5х² + cos х.

1950. у = х — х³.                             1954. у = sin x (1 + cos х).

1951.  у = х + sin x.                           1955*. у= 4 cos² x — 4 √3 sin x + 5.

1956.  Известно, что прочность балки с прямоугольным сечением прямо пропорциональна ширине и квадрату длины сечения. Найти размеры сечения балки наибольшей прочности, которую можно выпилить из круглого бревна, имеющего диаметр в d сантиметров.

Найти производные следующих функций (№ 1957—1963):

1964.  Доказать,   что   кривые у = cos² х + sin 2х  и  у = — 5х² + 2х + 1 касаются друг друга в точке х = 0. (Касание кривых в некоторой точке означает, что они имеют общую касательную в этой точке.)

1965.  В шар радиуса r вписан цилиндр наибольшего объема. Чему равен этот объем?

1966*. Доказать, что биномиальные коэффициенты — числа целые.

ОТВЕТЫ