КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 242. Числовые поля

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. В главе II (см. ч. I) мы рассказали о том, как от простейших, натуральных чисел человек пришел к более сложным, действительным числам. Сейчас мы хотим вернуться к рассмотрению этого вопроса. Но при этом нам придется несколько отступить от того порядка, в котором исторически развивалось понятие числа.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел

1,2,3,4,5.....

В нем всегда выполнимы два основных алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа m и n, сумма их  m + n , а также произведение m • n являются непременно натуральными числами. При этом соблюдаются следующие пять законов:

1) коммутативный закон сложения:  

m + n = n + m

2) ассоциативный закон сложения:

(m + n) + k = m + ( n + k )

3) коммутативный закон умножения:

m • n = n • m

4) ассоциативный закон умножения:

(m • n) • k = m • (n • k );

5) дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

(m + n)  • k = m • k + n • k.

Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3—5 и 2—2, а также, ни одно из частных 3 : 5 и 7 : 4 нельзя выразить никаким натуральным числом.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате такого расширения мы приходим к множеству всех целых чисел:

...,—3,—2,—1,0, 1,2,3.....

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо.

Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел, мы добились тем самым, что действие вычитания стало выполнимым всегда. Но деление по-прежнему осталось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, нужно расширить и множество всех целых чисел. Сделать это можно путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел  вида m/n,  где т и п — произвольные целые числа и п =/= 0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. Как было показано во второй главе, в этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения.

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных чисел является простейшим числовым полем.

Уместно сразу же заметить, что множество всех иррациональных чисел поля не образует. Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание и деление) над иррациональными числами может привести к числу рациональному. Так, например,

2 + (— √2) = 0,

2  2  = 2

и т. д. А вот множество всех действительных чисел образует поле. Как указывалось во второй главе, действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления на нуль) не выводят нас за пределы действительных чисел, причем сложение и умножение подчинены пяти основным законам.

Приведем еще один, более сложный, пример числового поля. Рассмотрим все действительные числа вида r +  s 2, где r и s — рациональные числа.

Пусть а + b2   и   с + d2 — произвольные два числа рассматриваемого вида.  Тогда

(а + b2 ) + (с + d 2) = (a + с) + (b + d)√2  

(а + b2 ) — (с + d 2) = (a — с) + (b — d)√2

(а + b2 )  (с + d 2)  = ac + ad2 + bc2 + 2 bd = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2.

Предположим теперь, что число с + d2 не равно нулю. Тогда, очевидно, и сопряженное ему число с — d 2 будет отлично от нуля (докажите это!). Поэтому можно написать:

Как мы видим, каждое из четырех действий (сложение, вычитание, умножение и деление) над числами вида r +  s 2 приводит к числу того же самого вида. Ясно также, что сложение и умножение всех этих чисел подчинено каждому из пяти указанных выше законов. Поэтому совокупность всех чисел вида r +  s 2, где и r и s — рациональные числа, образует числовое поле.

Упражнения

1967.  Образует ли кольцо:

а)  множество всех четных чисел;

б)  множество всех нечетных чисел;

в)  множество всех чисел, кратных некоторому числу р?

1968.  Образует ли поле:

а)  множество всех дробей со знаменателем 3;

б)  множество всех дробей,  знаменатели  которых есть целые степени числа 3?

1969.  Докажите,   что  множество   всех   конечных   десятичных дробей образует кольцо, но не образует поле.

1970.  Докажите,   что   любое   числовое   поле либо   совпадает с множеством всех рациональных чисел,  либо содержит в себе это множество.

1971.  Докажите, что множество всех чисел вида а + b3, где а и b — рациональные числа, является полем. Содержит ли это поле:

а)  все рациональные числа;

б)  все иррациональные числа;

в)  все действительные числа?

ОТВЕТЫ

1967. а) Да; б) нет; в) да.      1968. а) Нет; б) нет.

Используются технологии uCoz