КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 243. Постановка задачи о расширении поля действительных чисел.
Комплексные   числа

Потребности математики уже давно указывали на серьезную необходимость расширения поля действительных чисел. Как мы знаем,  в нем,   помимо сложения,  вычитания,   умножения и деления, выполнимо еще действие возведения в степень, представляющее собой не что иное, как многократное умножение. А вот извлечение корней, то есть действие, обратное возведению в степень, выполнимо не всегда. Мы не знаем, например, какой смысл можно придать выражениям √— 1, √— 16. Поэтому в поле действительных чисел не разрешимы даже такие на первый взгляд простые уравнения, как   x² + 1 = 0,    x⁴ +16 = 0 и т. д.

Таким образом, мы приходим к необходимости расширить поле действительных чисел путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое, поле, в котором всегда было бы выполнимо действие извлечения корней.

Окончательно эта задача была решена лишь в XIX  столетии.

Посмотрим, какие же элементы должно содержать новое, расширенное   поле.

Прежде всего оно должно содержать все действительные числа. Далее, в нем должно быть разрешимо уравнение x²= — 1, поскольку действие, обратное возведению в степень, в этом поле выполнимо.

Число, квадрат которого равен — 1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей. Итак, по определению числа i

i² = — 1.

Мы требуем, чтобы новое множество чисел было полем. Поэтому наряду с действительным числом b и мнимой единицей i ему должно принадлежать и их произведение bi. Точно так же вместе с действительным числом а и произведением bi новому числовому полю должна принадлежать и их сумма а + bi. Таким образом, новое множество чисел должно содержать все числа вида

а + bi,

где а и b — произвольные действительные числа, a i — мнимая единица. Эти числа мы назовем комплексными числами.

Число а принято называть действительной частью, а выражение bi — мнимой частью комплексного числа а + bi. Число b называется коэффициентом при мнимой части. Например, для комплексного числа 2 + 3i действительной частью является число 2, а мнимой — выражение 3i ; коэффициент при мнимой части равен 3. Для числа 0 — 3i действительной частью является число 0, а мнимой — выражение — 3i; коэффициент при мнимой части равен — 3. Для числа 5 + 0i действительной частью является число 5, а мнимой — выражение 0i; коэффициент при мнимой части равен нулю.

Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Другими словами, а + bi = с + di тогда и только тогда, когда    а = с,    b = d.

Как мы знаем, для неравных действительных чисел определены соотношения «больше» и «меньше». Так, 5 > 4, 0 <  7 и т, д. Для неравных комплексных чисел такие соотношения определить невозможно. Нельзя, например, сказать, какое из двух чисел больше: 2 + 3i  или 5 — 7i,    0 + 2i или 0 + 4i и т. д.

Упражнения

1972.   Что значит, что два комплексных числа а + bi и с + di

 а) равны друг другу;  б) не равны друг другу?

1973.  Найти действительные числа х и у из уравнений:

а) (х — у) + (3х + у) i = 3 — 3 i;

б) (х — 5y) + (2x — у)i = 6 + 3 i.

ОТВЕТЫ

1972.   а) а = c, b = d

б) либо а =/= с, либо b =/= d; возможно, конечно, что и а =/= с и b =/= d.

1973. а) х = 0, у = — 3; б) х = 1, у = — 1.