КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 245. Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел z1 =  а + bi  и  z2 = с + di   называется такое комплексное число z3х + yi, которое в сумме с z2 дает z1.

Другими словами, для комплексных чисел, так же как и для действительных, равенство

z3z1 — z2

по определению означает то же самое, что и равенство

z3 + z2 = z1.

Само по себе введенное нами определение не гарантирует, что из каждого комплексного числа можно вычесть любое другое комплексное число. Возможность такого вычитания и его однозначность устанавливаются следующей теоремой.

Теорема. Для любых комплексных чисел z1 =  а + bi  и  z2 = с + di  разность
z
3z1 — z2 определена и притом однозначно.

Фактически нужно доказать, что существует и притом единственное комплексное число z3х + yi, которое в сумме с z2 дает z1

(с + di ) + (х + yi) = (а + bi).                         (1)

По определению суммы комплексных чисел:

(с + di ) + (х + yi) = (с + х) + (d + y)i .

Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде:

(с + х) + (d + y)i а + bi.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому

Эта система уравнений всегда имеет и притом единственное решение:

х = а — с,     у = b — d.

Поэтому существует и притом единственная пара действительных чисел (х, у), удовлетворяющая уравнению (1). Тем самым теорема доказана.

По существу мы доказали, что

     (а + bi) — (с + di) = (а — с) + (b — d)i.

Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях.

Примеры.

1)  (5 + 6i ) — (3 + 7i ) = (5 — 3) + (6 — 7)i  = 2 — i;

2)  (2 + i ) — (9 + i) = (2 — 9) + (1 — 1)i = — 7 + 0i

3)  (3 + 4i ) — (3 — i ) = (3 — 3) + (4 + 1)i = 0  + 5i;

4)  (7 — i ) — (7 — i ) = (7 — 7) + (— 1 + 1)i = 0 + 0i.

Упражнения

1976.   Что выражает каждая из данных формул — определение или теорему:

а)  (а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i

6)  (а + bi) — (с + di) = (а — с) + (b — d)i ?

1977.  Найти действительные числа х и у из уравнений:

а) (0 + 3xi ) — (10x + 2уi ) = — 5у + 3i;

б) (— 3у + 1/2 xi) — (—8x + 5уi ) = — 2 + 12i;

в) (3/4 x — 2yi ) — (1/3 у + 6xi ) = 0 + 21i.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz