КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI
§ 245. Вычитание комплексных чисел
Определение. Разностью двух комплексных чисел z1 = а + bi и z2 = с + di называется такое комплексное число z3 = х + yi, которое в сумме с z2 дает z1.
Другими словами, для комплексных чисел, так же как и для действительных, равенство
z3 = z1 — z2
по определению означает то же самое, что и равенство
z3 + z2 = z1.
Само по себе введенное нами определение не гарантирует, что из каждого комплексного числа можно вычесть любое другое комплексное число. Возможность такого вычитания и его однозначность устанавливаются следующей теоремой.
Теорема. Для любых комплексных чисел z1 = а + bi и z2 = с + di разность z3 = z1 — z2 определена и притом однозначно.
Фактически нужно доказать, что существует и притом единственное комплексное число z3 = х + yi, которое в сумме с z2 дает z1
(с + di ) + (х + yi) = (а + bi). (1)
По определению суммы комплексных чисел:
(с + di ) + (х + yi) = (с + х) + (d + y)i .
Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде:
(с + х) + (d + y)i = а + bi.
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому
Эта система уравнений всегда имеет и притом единственное решение:
х = а — с, у = b — d.
Поэтому существует и притом единственная пара действительных чисел (х, у), удовлетворяющая уравнению (1). Тем самым теорема доказана.
По существу мы доказали, что
(а + bi) — (с + di) = (а — с) + (b — d)i.
Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях.
Примеры.
1) (5 + 6i ) — (3 + 7i ) = (5 — 3) + (6 — 7)i = 2 — i;
2) (2 + i ) — (9 + i) = (2 — 9) + (1 — 1)i = — 7 + 0i
3) (3 + 4i ) — (3 — i ) = (3 — 3) + (4 + 1)i = 0 + 5i;
4) (7 — i ) — (7 — i ) = (7 — 7) + (— 1 + 1)i = 0 + 0i.
Упражнения
1976. Что выражает каждая из данных формул — определение или теорему:
а) (а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i
6) (а + bi) — (с + di) = (а — с) + (b — d)i ?
1977. Найти действительные числа х и у из уравнений:
а) (0 + 3xi ) — (10x + 2уi ) = — 5у + 3i;
б) (— 3у + 1/2 xi) — (—8x + 5уi ) = — 2 + 12i;
в) (3/4 x — 2yi ) — (1/3 у + 6xi ) = 0 + 21i.
ОТВЕТЫ
|