КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 246. Умножение  комплексных   чисел

Естественно потребовать, чтобы умножение комплексных чисел а + bi  и   с + di  выполнялось так же, как и умножение двучленов с действительными коэффициентами, а именно:

(а + bi ) (с + di) = ас + adi + bci + bdi² = ас + (ad + bc) i +bdi².

Но по определению числа i'

i² = — 1.

Поэтому bdi² = — bd и, следовательно,

(а + bi ) (с + di) = (ac — bd) + (ad + bc) i,                (1)

Эта формула и кладется в основу определения произведения двух комплексных чисел.

Определение. Произведением двух комплексных чисел а + bi  и   с + di  называется комплексное число (ac — bd) + (ad + bc) i.

Для того чтобы уметь умножать комплексные числа друг на друга, формулу (1)  помнить не обязательно. Нужно лишь знать, что она дает такой же результат, как и простое умножение двучленов а + bi  и   с + di  с последующей заменой i² на —1.

Примеры.

1)  (2 + 3i) (6 — 5i) = 12—10i +18i —15i²=(12+15) + (18—10)i =  27 + 8i.

2)  (4 + i) (4 — i) = 16 — 4i + 4i — i² = (16 + 1) + (—4 + 4)i = 17 + 0i;

3)  (1 + i)² = (1 + i) (1 + i ) = 1 + i + i + i² = (1—1)+2i = 0 + 2i.

Как мы знаем, в области действительных чисел нуль обладает тем свойством, что произведение его с любым другим действительным числом равно нулю:

а • 0 = 0.

Учащиеся без особого труда могут убедиться в том, что в множестве комплексных чисел аналогичным свойством обладает число 0 + 0i.

Для любого комплексного числа а + bi

(а + bi ) (0 + 0i) = 0 + 0i.

Упражнения

Вычислить (№ 1978 — 1987):

1978.  (5 + i ) (—2 + 3i )                    1983. (5 + i ) (15 — 3i )

1979.   (3 + 4i ) (6 — 5i )                  1984. (— 6 + 2i ) (11 + 5i )

1980.   (7 — 2i ) (3,5 — i )               1985. (0,5 + i ) (1 + 2i )

1981.  (0,5 + 0,2i ) (2 + 3i )              1986. (√2 — i ) (√3 + 2i ).

1982.   (7 + 4i )².                               1987. (√3+ 5i ) (5 — √3 i ).

1988.  Найти комплексное число z из уравнения

(2 — 3i ) • z = — 1 — 5i .

ОТВЕТЫ