КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI
§ 247. Деление комплексных чисел
В области комплексных чисел так же, как и в области действительных чисел, соотношение
понимается в том смысле, что z3 • z2 = z1.
Определение. Частным от деления комплексного числа z1 на комплексное число z2 =/= 0 + 0i называется такое комплексное число z3, которое при умножении на z2 дает z1.
В области действительных чисел частное a/b определено для всех значений а и b, если только b =/= 0. Аналогично обстоит дело и в области комплексных чисел.
Теорема. Частное определено и притом однозначно для всех комплексных чисел а + bi и с + di , если только с + di =/= 0 + 0i .
Доказательство. Нам нужно показать, что если с + di =/= 0 + 0i , то существует и притом единственная пара действительных чисел (х, у), удовлетворяющая уравнению
(x + yi)(c + di) = а + bi . (1)
По правилу умножения комплексных чисел
(x + yi)(c + di) = (хс — yd) + (xd + yc)i .
Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде:
(хс — yd) + (xd + yc)i = а + bi .
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому
(2)
Вычислим главный определитель этой системы:
Поскольку с + di =/= 0 + 0i, хотя бы одно из чисел с и d отлично от нуля.
Но тогда Δ = с2 + d2 > 0. Следовательно, по правилу Крамера (см. § 30, ч. I) система уравнений (2) имеет и притом единственное решение:
Запоминать эту формулу не нужно; достаточно знать, как она получается.
Пример. Найти отношение
Пусть
= x + yi
Тогда
(x + yi) (2 — 3i) = 9 — 7i,
2х + 2yi — 3xi — 3уi2 = 9 — 7i,
(2х + 3y) + (2у — 3x)i = 9 — 7i.
Отсюда
Решая эту систему, находим х = 3, у = 1. Поэтому
= 3 + i
Упражнения
1989. Что выражает каждая из данных формул — определение или теорему:
ОТВЕТЫ
|