КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 247. Деление комплексных чисел

В области комплексных чисел так же, как и в области действительных чисел, соотношение

понимается в том смысле, что z3 • z2 = z1.

Определение. Частным от деления комплексного числа z1 на комплексное число z2 =/= 0 + 0i называется такое комплексное число z3, которое при умножении на z2 дает z1.

В   области   действительных чисел частное a/b определено для всех   значений а и b,   если только b =/= 0. Аналогично обстоит дело и в области комплексных чисел.

Теорема. Частное  определено и притом однозначно для всех комплексных чисел а + bi  и  с + di , если только с + di =/= 0 + 0i .

Доказательство. Нам нужно показать, что если с + di =/= 0 + 0i , то существует и притом единственная пара действительных чисел (х, у), удовлетворяющая уравнению

(x + yi)(c + di) = а + bi .                                  (1)

По правилу умножения комплексных чисел

(x + yi)(c + di) = (хс — yd) + (xd + yc)i .

Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде:

(хс — yd) + (xd + yc)i  = а + bi .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому

                                   (2)

Вычислим главный определитель этой системы:

Поскольку с + di =/= 0 + 0i, хотя бы одно из чисел с и d отлично от нуля.

Но тогда Δ = с2 + d2 > 0. Следовательно, по правилу Крамера (см. § 30, ч. I) система уравнений (2) имеет и притом единственное  решение:

Запоминать  эту формулу  не  нужно;  достаточно  знать,   как она получается.

Пример.   Найти отношение   

Пусть

= x + yi

Тогда

(x + yi) (2 — 3i) = 9 — 7i,

2х + 2yi — 3xi — 3уi2 = 9 — 7i,

(2х + 3y) + (2у — 3x)i = 9 — 7i.

Отсюда

Решая эту систему, находим х = 3, у = 1. Поэтому

= 3 + i

Упражнения

1989.   Что выражает каждая  из данных формул — определение или теорему:

 

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz