КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 248. Поле  комплексных  чисел

Комплексным числам мы посвятили уже несколько параграфов. Но наши рассуждения часто были нестрогими. Мы допустили (хотя и сознательно!) ряд логических погрешностей, которые теперь нужно устранить.

Чтобы разобраться в этом, поставим перед собой такой вопрос: что значит ввести в рассмотрение новые числа? Конечно, для новых чисел мы должны выбрать какие-то обозначения. Например, комплексные числа мы обозначаем а + bi. Но главное не в этом. Главное в том, чтобы определить, как сравниваются эти числа друг с другом, как производятся действия над ними (сложение, вычитание., умножение, деление). Пока эти действия не определены, употреблять такие выражения, как «сумма новых чисел» и «произведение новых чисел», мы не имеем права.

А как мы вводили комплексные числа? Прежде всего (см. § 243) мы потребовали, чтобы новое множество чисел содержало число, квадрат которого (то есть произведение с самим собой) равен — 1. Среди уже известных нам действительных чисел такого числа не существует. Если оно и существует, то только среди новых чисел. Но как же в таком случае мы могли говорить о произведении? Ведь умножение новых чисел еще не было определено! Таким образом, уже определение мнимой единицы было математически некорректным. Об умножении новых чисел мы говорили фактически и тогда, когда требовали, чтобы новое множество чисел вместе с действительным числом b и мнимой единицей i содержало их произведение bi. Далее, мы говорили о сумме а + bi, хотя сложение новых чисел так же, как и умножение, еще не было определено.

Вот почему наше изложение теории комплексных чисел нельзя признать математически строгим. Но как же в таком случае ввести в рассмотрение комплексные числа? Ответ на этот вопрос дается ниже.

Комплексными числами называются числа, записываемые в виде а + bi, где а и b — произвольные действительные числа, a i — некоторый символ.

Вводя обозначение а + bi, мы вовсе не связываем его с какой бы то ни было суммой. Знак «+» в выражении а + bi пока не является признаком суммирования. Он входит просто как составная часть одного, не разделяемого на части выражения а + bi. Отметим также, что мы не требуем заранее, чтобы выполнялось соотношение i2 = — 1. Ведь пока что i — это просто символ, а не число.

По определению а + bi=c + di тогда и только тогда, когда а = с, b = d. Сумма двух комплексных чисел определяется по формуле

(а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i,                            (1)

а произведение — по формуле

(а + bi ) (с + di) = (ac — bd) + (ad + bc) i.                         (2)

Разность двух комплексных чисел а + bi и c + di определяется как такое комплексное число, которое в сумме с c + di дает а + bi. Как было доказано в § 245, это число существует и равно

(а — с) + (b — d)i ,

то есть

 (а + bi) — (с + di) = (а — с) + (b — d)i                     (3)

Частным от деления комплексного числа а + bi на комплексное число  c + di называется такое комплексное число, которое в результате умножения на  c + di дает а + bi. В § 247 было доказано, что если с + di =/= 0 + 0i, то частное от деления а + bi на с + di существует и равно

 

                 (4)

Из приведенных выше четырех формул естественными на первый взгляд кажутся лишь формулы (1) и (3). Другие же две формулы трудно понять с первого взгляда. Вот почему мы начали с такого изложения теории комплексных чисел, которое хотя и является нестрогим, но зато дает возможность понять, как можно прийти к формулам (2) и (4).

Действия сложения, умножения, вычитания и деления над комплексными числами приводят опять же к комплексным числам. Посмотрим, выполняются ли при этом те законы сложения и умножения, которые были присущи действительным числам:

z1 + z2 =  z2 + z1

(z1 + z2)  + z3 = z1 + (z2 + z3),

z1 z2 =  z2 z1,

(z1 z2)  z3 = z1  (z2 z3),

(z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3.

Если мы покажем, что эти законы выполняются, то тем самым будет доказано, что множество всех комплексных чисел образует поле.

Начнем с первого закона. Пусть z1 = а + bi,  z2 = c + di. Тогда

z1 + z2 = (а + bi)   +   (c + di) = (а + с) +  (b + d)i

z2 + z1 = (c + di) + (а + bi) = (c + a) + (d + b)i.

Для   действительных   чисел   коммутативный    закон   сложения, как   мы   знаем,    выполняется.   Следовательно,    а + с = с + а;   b + d = d + b. Поэтому комплексные числа z1 + z2 и z2 + z1 имеют одинаковые действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Но в таком случае они равны: z1 + z2 = z2 + z1 .

Теперь обратимся к пятому закону. Пусть z1 = а + bi,  z2 = c + di, z3 = e + fi.

Тогда

z1 + z2 = (а + с) +  (b + d)i

Следовательно,

(z1 + z2) z3 = [(a + с) + (b + d)i] e + fi =

= [(a + c)e — (b + d)f] + [(a + c)f + (b + d)e] i =

= [(ae — bf) + (ce — df)] + [(af + be) + (cf + de)]i.

С другой стороны,

z1 z3 = (а + bi) (e + fi) = (ae — bf) + (af + be)i,

z2 z3 = (c + di) (e + fi) = (ce — df) + (cf + de)i.

Поэтому

z1 z3 + z2 z3 = [(ae — bf) + (ce — df)] + [(af + be) + (cf + de)]i

Сравнивая числа (z1 + z2) z3  и z1 z3 + z2 z3, мы замечаем, что они имеют соответственно равные действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Но в таком случае эти комплексные числа равны между собой:

(z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3.

Мы доказали, что для комплексных чисел выполняются коммутативный закон сложения и дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Предлагаем учащимся самостоятельно убедиться в том, что для комплексных чисел выполняются и все остальные законы сложения и умножения.

Итак, множество всех комплексных чисел образует поле.

Упражнение

1995. Образует ли поле совокупность всех чисел вида:

а)  0 + bi,  где b — действительное число;

б)  а + ai, где а — действительное число;

в)  а + bi, где а  и b — произвольные рациональные числа?

ОТВЕТЫ

1995. а) Нет; б) нет; в) да
Используются технологии uCoz