КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI
§ 250. Действительные и чисто мнимые числа
Рассмотрим отдельно все точки плоскости, лежащие на оси абсцисс. Они имеют координаты (а, 0) и, следовательно, соответствуют комплексным числам вида а + 0i. Пусть а1 + 0i и а2 + 0i — два таких числа. Легко убедиться в справедливости следующих соотношений:
(а1 + 0i) + (а2 + 0i) = (а1 + а2) + 0i;
(а1 + 0i) — (а2 + 0i) = (а1 — а2) + 0i
(а1 + 0i) (а2 + 0i) = а1а2 + 0i;
Эти соотношения показывают, что все комплексные числа вида а + 0i, то есть числа с нулевыми коэффициентами при мнимых частях, складываются, вычитаются,. умножаются и делятся друг на друга как соответствующие им действительные числа. Геометрическое изображение этих чисел также совпадает с геометрическим изображением соответствующих действительных чисел: как те, так и другие представляются точками оси абсцисс. Это позволяет нам не делать различия между комплексным числом а + 0i и действительным числом а. Поэтому в дальнейшем мы всюду вместо а + 0i будем писать просто а; в частности, 0 + 0i = 0. По этой причине ось абсцисс, на которой расположены точки, соответствующие действительным числам, или комплексным числам вида а + 0i, называется действительной осью.
Теперь нам ясно, каким образом действительные числа входят в совокупность всех комплексных чисел.
Точки оси ординат имеют координаты (0, b) и потому соответствуют числам вида 0 + bi, то есть комплексным числам действительные части которых равны нулю. Такие числа характеризуются тем, что квадраты их отрицательны (если только b =/= 0). Действительно,
(0 + bi)2 = (0 + bi) (0 + bi) = 0 + 0 • bi + b • 0i — b2 == — b2 + 0i = — b2.
В частности,
(0 + i)2 = —1.
Когда комплексные числа еще не были введены в математику, трудно было представить себе, что квадраты чисел могут быть отрицательными. Поэтому комплексные числа вида 0 + bi получили название чисто мнимых чисел. В дальнейшем эти числа мы будем обозначать не 0 + bi, а просто bi. Ось ординат, на которой располагаются все чисто мнимые числа, называется мнимой осью.
Условимся в дальнейшем комплексное число 0 + i обозначать просто i. После такого соглашения мы можем говорить не только о каком-то символе i, но и о комплексном числе i, подразумевая под ним число 0 + i. Как было показано выше, (0 + i)2 = —1. Поэтому
i2= — 1.
Число i получило название мнимой единицы. Рассмотрим произведение произвольного действительного числа на мнимую единицу i :
b • i = (b + 0i) (0 + i) = b • 0 + bi + 0 • 0i + 0 • i2 = 0 + bi.
Итак,
b • i = 0 + bi.
Этим и оправдывается принятое выше соглашение обозначать числа вида 0 + bi просто bi.
В § 248 мы говорили, что по определению а + bi есть просто особое обозначение, а не выражение суммы чисел а и bi. Ведь тогда мы еще не знали, что представляют собой комплексные числа а и bi; тем более мы не могли знать, как складываются эти числа. Теперь же мы знаем, что представляют собой комплексные числа а и bi и что представляет собой сумма двух комплексных чисел. Поэтому теперь законнo поставить вопрос: а нельзя ли выражение а + bi рассматривать как сумму двух чисел а и bi? Для решения этого вопроса заметим, что
а = а + 0i,
bi = 0 + bi.
Поэтому сумма чисел а и bi равна:
(а + 0i) + (0 + bi) = (а + 0) + (0 + b) i = а + bi.
Это дает положительный ответ на поставленный выше вопрос.
Комплексное число а + bi можно рассматривать как сумму двух комплексных чисел: действительного числа а и чисто мнимого числа bi.
Упражнения
2001. Что означает каждое из выражений:
а) комплексное число а + bi равно нулю;
б) комплексное число а + bi не равно нулю?
2002. Найти действительные числа х и у из уравнений:
а) (х + у) + (х — у) i = 2 + 4i;
б) (х + у) + (х — у) i = 4i; .
8) (х + у) + (х — у) i = 2;
г) (у + 2х) + (2у + 4х) i = 0;
д) (х+ 1,5у) + (2х + 3у)i = 13i.
2003. Найти чисто мнимые числа и и v из уравнений:
а) и + iv = — 3 + 2i; б) 5и — 6iv = — 24 — 5i.
2004. Что можно сказать о двух комплексных числах, если их сумма и разность одновременно представляют собой:
а) действительные числа;
б) чисто мнимые числа?
2005. Вычислить:
а) [ i (2 — i)]2; б) [2i (3 — 4i)]2.
2006. Доказать, что квадрат комплексного числа а + bi представляет собой действительное число тогда и только тогда, когда либо а = 0, либо b = 0.
ОТВЕТЫ
|