КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 251. Сопряженные числа. Практический способ деления комплексных чисел

Комплексное число а — bi  называется сопряженным к комплексному числу а +bi  . Например, число 2 — 3i является сопряженным к числу 2 + 3i, число 5 + 4i — сопряженным к числу 5 — 4i, число —6i (= 0 — 6i) — сопряженным к числу 6i  (= 0 +6i ) и т. д.

Пусть а — произвольное действительное число. Тогда

а = а + 0i = а — 0i.

Поэтому любое действительное число равно своему сопряженному. Верно и обратное утверждение: если комплексное число а +bi равно своему сопряженному, то есть

а +bi = а — bi,                                   (1)

то это число действительное. В самом деле, из (1) вытекает, что b = — b или b = 0. Следовательно, а +bi = а + 0 • i = а, что и требовалось доказать.

Таким образом, из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам.

Число а — bi  является сопряженным к числу а + bi . Но число а + bi будет, очевидно, сопряженным к числу а — bi. Таким образом, числа а + bi и а — bi являются сопряженными друг другу. Поэтому они называются взаимно сопряженными комплексными числами. Очевидно, что любые взаимно сопряженные комплексные числа а + bi и а — bi изображаются на плоскости точками, симметричными друг другу относительно действительной оси (см. рис. 331).

Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное.

В самом деле,

(а + bi) (а — bi)  = а² — (bi)² = а² — b²i²

Но i² = — 1.

Поэтому

(а + bi) (а — bi)  = а² + b².

Доказанное свойство взаимно сопряженных чисел позволяет довольно просто производить деление комплексных чисел. Пусть нужно найти частное

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на число с — di, сопряженное знаменателю. В результате мы получим дробь, знаменатель которой будет действительным числом:

Теперь, используя дистрибутивный закон умножения относительно сложения, получим:

В § 247 эта формула была получена иным путем.

Примеры.

Упражнения

2007. Назвать   комплексные   числа,    сопряженные   данным.

Изобразить  данные   и   сопряженные   к   ним   числа    точками плоскости:

а) 1 + i;    б) 2—3i;    в) 5;    г) 4i;     д) 0;    е) 2i — 1.

Вычислить:

ОТВЕТЫ