КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 255. Двучленные уравнения 4-й степени с действительными коэффициентами

Так называются уравнения вида

ах⁴ = b,

где а и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.

Решение таких уравнений мы тоже рассмотрим на некоторых частных примерах.

Пример   1.   Решить уравнение х⁴ = 16.

Перепишем данное уравнение в  виде:

х⁴ — 16 = 0.

Левую часть этого уравнения разложим на множители:

х⁴ — 16 = (х²— 4) (х²+ 4) = (х + 2) (х — 2) (х² + 4).

Отсюда следует, что корнями уравнения х⁴ = 16 будут:

x₁ = —2,   x₂ = 2,   x₃ = 2i,   x₄ = —2i.

Действительными среди этих корней являются лишь два корня: x₁ = —2   и  x₂ = 2.

Пример    2.    Решить  уравнение х⁴ = —16.

В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна. В множестве комплексных чисел это уравнение, как мы сейчас покажем, имеет 4 различных корня.

Перепишем данное уравнение  в  виде:

х⁴ + 16 = 0.

Выражение х⁴ + 16 можно рассматривать как сумму квадратов чисел х² и 4. Дополнив эту сумму до точного квадрата, получим:

х⁴ + l6 =  х⁴+16 + 2 • 4 • х²— 2 • 4 • х²  = (х²+4)² — 8х².

Теперь используем формулу Для разности квадратов двух чисел:

(х²+4)² — 8х²= (х² + 4 + √8х²  ) (х²  +4 — √8х²   ) =

= (х² + 2√2 х + 4) (х² — 2√2 х + 4).

Итак,

х⁴ + 16 = (х² + 2√2 х + 4) (х² — 2√2 х + 4).

Поэтому уравнение х⁴ = —16 можно представить в виде:

(х² + 2√2 х + 4) (х² — 2√2 х + 4) = 0.

Если  х² + 2√2 х + 4  = 0, то  x_1,2 = —√2 ± √2—4  ,    или

x₁ = —√2 — √2 i,

x₂ = —√2  + √2 i

если же  х² — 2√2 х + 4 = 0, то x_3,4 = √2 ± √2—4 ,  или

x₃ = √2 — √2 i,

x₄ = √2  + √2 i

Мы получили четыре корня уравнения х⁴ = —16. Среди них нет ни одного действительного корня.

Пример 3. Решить уравнение 3х⁴ = —6. Принципиально это уравнение не отличается от предыдущего. Поэтому мы приводим его решение без объяснений:

Таким образом, данное уравнение имеет четыре различных корня. Среди них нет ни одного действительного корня.

Упражнения

Решить   уравнения   (№2040 — 2044):

2040.   х⁴ =  81.            2042. х⁴ = 2.              2044. 3х⁴ = 5.

2041.   х⁴ = —81.        2043. х⁴ = —3.

2045.   Найти сумму всех корней уравнения х⁴ = 4.

2046.   Найти  произведение всех  корней  уравнения х⁴= — 7.

ОТВЕТЫ