КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА     XI

§ 258. Извлечение корней из комплексного числа

Предположим, что корень степени п из комплексного числа r (cos φ + i sin φ),   отличного от нуля, существует и равен

 ρ (cos θ + i cos θ)*.

* ρ и θ — греческие буквы, читаются соответствеино: ро и тэта.

Тогда

[ρ (cos θ + i cos θ)]ⁿ = r (cos φ + i sin φ).

 Используя формулу Муавра, получаем:

ρⁿ (cos nθ + i cos nθ) = r (cos φ + i sin φ).

Модули двух  равных   комплексных  чисел,  отличных от нуля,  равны,  а аргументы   могут отличаться лишь на угол, кратный 2π. Поэтому

ρⁿ = r,    nθ = φ + 2kπ,

откуда

ρ = ⁿ√r   ;           ,

где k может быть любым целым числом. В частности,

При k = n, n + 1, n + 2 и т. д. будут получаться значения θ, отличающиеся от написанных выше на утлы, кратные 2π. Поэтому никаких новых комплексных чисел эти значения k дать не могут.

Легко показать, что никаких новых комплексных чисел мы не получим и при отрицательных значениях k.

Итак, если только корень степени п из комплексного числа r (cos φ + i sin φ) существует, то он может принимать лишь следующие п значений:

Непосредственной проверкой легко установить, используя формулу Муавра, что каждое из этих чисел удовлетворяет соотношению

αⁿ = r (cos φ + i sin φ)

и потому является корнем n-й степени из комплексного числа

r (cos φ + i sin φ).

Таким образом, каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно п корней п-й степени.

Геометрически все п значений корня п-й степени из комплексного числа r (cos φ + i sin φ)   изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен ⁿ√r  (см., например, рис. 336, на котором r (cos φ + i sin φ) = 1, n = 6).

Если эти точки соединить последовательно прямолинейными отрезками, то в результате получится правильный  n-угольник.

Пример.  Найти все значения корня n-й степени из числа i.

Представив i в виде i = cos ^π/₂+ i sin ^π/₂,  найдем, что модули   всех корней равны
⁴√1=1, а аргументы ^π/₈ ; ^π/₈ + ^2π/₄; ^π/₈ + ^4π/₄; ^π/₈ + ^6π/₄   или   ^π/₈ ; ⁵/₈ π ; ⁹/₈ π ; ¹³/₈ π ; Поэтому корнями 4-й  степени  из  числа i  являются   числа:

cos ^π/₈ + i sin ^π/₈ ;

cos ⁵/₈ π + i sin ⁵/₈ π ;

cos ⁹/₈ π + i sin ⁹/₈ π ;

cos ¹³/₈ π + i sin ¹³/₈ π ;

При желании, используя тригонометрические таблицы, эти корни можно записать в более явном виде.

Упражнения

2061.  Найти все значения данных корней:

а)  ³√3              в) ⁴√1;          д) ) √cos 100° + i sin 100°,

б) ³√1 + i ;      г) ⁴√— 1;

2062.  Решить уравнения:

а) х⁵=   (а — действительное число); б) х⁵ = i .

2063.  Решить уравнение:

х⁴ + х³ + х² + х +1= 0.

2064.  Доказать, что все корни n - й степени из комплексного числа х можно расположить так, что в результате получится геометрическая прогрессия. Найти знаменатель этой прогрессии.

ОТВЕТЫ